Kommutatorfaktorgruppe

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11.09.2016, 01:13	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutatorfaktorgruppe Meine Frage: Bestimme die Kommutatorfaktorgruppe der symmetrischen Gruppe Sn. Meine Ideen: Die Kommutatorfaktorgruppe hat ja folgende Form: G/[G,G] . Des weiteren weiß ich, dass G ein Normalteiler sein muss. Für n<=2 ist Sn abelsch und die Kommutatorfaktorgruppe somit e/[e,e]. Für n>2 kommen nur e, An und Sn selbst in Frage. Da Sn jedoch nicht abelsch ist, kann ich e direkt ausschließen. Jetzt bleibt die Frage, ob G=An oder Sn. Im Internet habe ich bereits gefunden, dass G=An sein soll. Nun bleibt laut meiner Definition noch zu zeigen, dass: 1) [G,G] ein Normalteiler in G ist 2) und dass G/[G,G] abelsch ist Idee für 1) Seien a, b, c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ An. Z.z. a [b,c] a^(-1) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ An a [b,c] $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ = a(bc $\begin{eqnarray} b^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c^{-1} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ Und da An eine Gruppe ist liegen die Verknüpfung mehrerer Elemente wieder in An. Idee für 2) Seien a', b' $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ An/[An,An]. und a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ An, mit p(a) = a'. [a',b'] = p(a)p(b) $\begin{eqnarray} p(a)^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(b)^{-1} \end{eqnarray}$ = p([a,b]) Das sind die Umformungen, die ich bisher hinbekommen habe, ich bin mir nicht sicher, ob einige nicht überflüssig sind und wie ich jetzt weiter machen kann. Ich möchte ja darauf kommen, dass [a',b'] = 1 ist.
11.09.2016, 12:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte das Signum eines Kommutators, dann erkennst Du, dass die Kommutatorgruppe Sn' eine Untergruppe der An sein muss. Ist Sn'=An, so ist wegen (Sn:An)=2 schon klar, dass An ein Normalteiler und die Kommutatorfaktorgruppe die abelsche C2 ist. Mir ist nur nicht klar, warum Sn' nicht eine echte Untergruppe der An sein kann. Es wäre zu zeigen, dass sich jeder 3-Zykel als Kommutator schreiben lässt (und genau das habe ich jetzt gefunden).
11.09.2016, 14:34	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Seien a, b aus An und die Länge des Zyklus a= r und die Länge des Zyklus b= s. Dann gilt sign( ab $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^{-1} \end{eqnarray}$ ) = $\begin{eqnarray} (-1)^{r-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-1)^{s-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-1)^{r-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-1)^{s-1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (-1)^{2(r-1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-1)^{2(s-1)} \end{eqnarray}$ =11=1 und somit ist ab $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray*}$ An. Daraus folgt dann, dass die Kommutatorgruppe eine Untergruppe von An sein muss und da diese gleichzeitig aber auch Normalteiler von Sn sein muss, kommt nur An selbst in Frage. C2 ist für dich Z/2Z oder? Aber wie kommst du darauf, dass das die Kommutatorfaktorgruppe ist, bzw. wie kann ich das beweisen. Zu deiner Frage: Ich bin nicht sicher, ob du das gemeint hast, aber laut unserer Definition muss die Kommutatorgruppe von G Normalteiler in G sein. Da G hier ja Sn ist gibt ein nur die trivialen Normalteiler und An die in Frage kommen.
11.09.2016, 15:50	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir vielleicht sagen, wie ein Element in diesem Fall aus der Kommutatorfaktorgruppe genau aussehen würde?
11.09.2016, 18:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ord(A_n)=\frac {ord (S_n)} 2\Rightarrow ord (S_n/A_n)=(S_n:A_n)=2\Rightarrow S_n/A_n\cong C_2\cong \mathbb Z_2=\mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2, eine andere Gruppe der Ordnung 2 gibt es nicht. Konkret sieht die Kommutatorfaktorgruppe z.B. so aus: $\begin{eqnarray} S_n/A_n=\{A_n,(12)A_n,\circ\} \end{eqnarray}$ . Die Kommutatorgruppe ist ein Normalteiler von G, allerdings nicht per def, sondern das kann man beweisen. Per def ist sie die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe von G. Wieso ist die $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ der einzige nichttriviale Normalteiler der $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ? Ich komme da nicht drauf. Ist doch z.B. die $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ ein Normalteiler der $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ und ein Normalteiler der $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ . (siehe hier: V4 ist Normalteiler in S4 )
11.09.2016, 20:43	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Und stimmt da hast du recht, habe eben nochmal nachgeschaut, weil ich habe auch schon mal gezeigt, dass V4 Normalteiler von S4 ist. Die Aussage gilt nur für Sn mit n>=5, also muss ich die Aussage noch für alle n<5 zeigen. Wir hatten eine Definition, die besagt, dass jede Untergruppe vom Index 2 Normalteiler ist und hier gilt ja (Sn:An)=2. Das meinte ich damit. Meine Vermutung ist, dass Sn' keine echte Untergruppe von An sein kann, da Z(Sn)=e, also das Zentrum trivial ist. Aber das muss ich natürlich noch beweisen.
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12.09.2016, 09:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist auch keine Definition, sondern ein Satz, dass jede Untergruppe vom Index 2 Normalteiler ist. Ich fasse noch einmal zusammen, wie Du den Beweis führen kannst. a) Betrachte das Signum eines Kommutators, dann erkennst Du, dass die Kommutatorgruppe Sn' der Sn eine Untergruppe der An ist. (Das hast Du schon gemacht) b) Zeige, dass sich jeder 3-Zykel als Kommutator schreiben lässt. Die An wird von den 3-Zykeln erzeugt, also ist die An eine Untergruppe der Kommutatorgruppe Sn'. c) An<Sn'<An, also Sn'=An
12.09.2016, 18:21	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
12.09.2016, 18:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Vielen Dank" ist nett ... aber wie beweist Du b) ?
12.09.2016, 19:04	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) Sei (abc) ein 3 er Zykel mit abc paarweise verschieden. Dann gilt (abc) = (ab) (bc) Also [(ab),(bc)] = (ab)(bc)(ba)(cb) = (abc)(ab)(bc) = (abc)(abc) = (acb) Daraus folgt, dass sich jeder 3er Zykel als Kommutator schreiben lässt.
12.09.2016, 19:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, das sieht noch einfacher aus als meine Lösung (abc)=(ab)(abc)(ba)(acb) , denn du kommst ganz elegant mit Transpositionen aus, während ich noch 3-Zykel im Kommutator habe.

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