lim inf An ; lim sup An Verständnisfrage

11.09.2016, 13:46

PhillyMathe

lim inf An ; lim sup An Verständnisfrage

Meine Frage:
Ich habe meine Verständnisprobleme mit :

[attach]42592[/attach]

Ich würde gerne meine Gedankengänge äußern und bitte um Ergänzungen/Hilfestellungen/Denkanregungen smile

Meine Ideen:
Betrachten wir das Beispiel des lim inf An :

Das bedeutet doch "übersetzt" $\begin{eqnarray*} ( a_{1} \cap a_{2} \cap a_{3} .... \cap a_{n}) \cup ( a_{2} \cap a_{3} .... \cap a_{n}) \end{eqnarray*}$ usw.

Die erste Klammer bedeutet doch , dass jedes der Ereignisse a1,a2,... eintritt. Die zweite Klammer bedeutet, dass jedes der Eregnisse a2,a3,.... eintritt. Die dritte klammer a3,... usw...

Vereinige ich nun die Klammern, dann tritt mindestens eines der Ereignisse (also das Ereignis ist nun die ganze Klammer). Dass dies äquivalent dazu ist, dass zu jedem Element w ein Index N existiert, so dass w in jedem $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ enthalten ist für n >= N, das ist mir klar. Aber warum kann das nur der Fall sein wenn w in allen bis auf endlich vielen $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Das verstehe ich nicht.

Heißt das, dass es endlich viele Mengen geben muss, damit w überhaupt in jedem $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ enthalten sein kann für n >= N , da man bei Unendlichkeit nicht sagen kann, dass es in jedem $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ liegt?
Phil

11.09.2016, 15:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von PhillyMathe
so dass w in jedem $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ enthalten ist für n >= N, das ist mir klar. Aber warum kann das nur der Fall sein wenn w in allen bis auf endlich vielen $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Das kann man ziemlich leicht indirekt beweisen: Nimm das Gegenteil von letzterem an, d.h., dass es unendlich viele $\begin{align*} n \end{align*}$ gibt mit $\begin{align*} \omega\not\in A_n \end{align*}$ . Die Menge dieser $\begin{align*} n \end{align*}$ ist dann zwangsläufig unbeschränkt...

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