Produkt von Untergruppen |
| 11.09.2016, 14:37 | Jajay004 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Produkt von Untergruppen Seien H und U beliebige Untergruppen von G. Dann ist HU= (hk, h , k U) nicht zwangsläufig eine Untergruppe von G. Nun möchte ich ein Beispiel finden, in dem H und U so gewählt sind, dass HU keine Untergruppe von G ist. Meine Ideen: Was ich bis jetzt weiß: H und U dürfen keine Normalteiler sein, denn sonst liegt das Produkt zwangsläufig in G. Was ich versucht habe: Ich habe mit Untergruppen Z/nZ versucht eine solche Gruppe zu konstruieren, dies hat jedoch nicht geklappt. Bzw. es hat geklappt, obwohl es nicht hätte klappen dürfen. Sei G=Z/10Z, U=Z/2Z und H=Z/5Z, somit wären doch sowohl H als auch U Normalteiler oder? Und somit müsste HU ja eine Untergruppe von G sein. Ich bekomme jedoch raus: 1=5-2*2 und somit HU=Z, was jedoch keine Untergruppe von G ist. |
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| 11.09.2016, 19:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du musst natürlich mit einer nichtabelschen Gruppe anfangen, denn in abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. |
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| 12.09.2016, 17:08 | Jajay004 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke schön, habe es durch ausprobieren jetzt mit 2 Untergruppen von S4 geschafft. |
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| 12.09.2016, 18:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist die S3, eine Gruppe der Ordnung 6. Da gibt es auch schon Gegenbeispiele : {id,(12),(13),(12)(13)}={id,(12)}{id,(13)} ist keine Untergruppe der S3. Muss man gar nicht lange rumprobieren, weil 4 kein Teiler von 6 ist, kann das keine Untergruppe sein. Wie sieht dein Beispiel in der S4 aus ? |
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| 12.09.2016, 19:09 | Jajay004 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt das ist noch einfacher danke. Habe es mit: U = {id,(124), (142)} und H = S3 = {id,(12), (13), (23), (123), (132)} gemacht. Dann gilt HU= {id, ...} Und somit ord(HU) =18, was ebenfalls kein Teiler der Gruppenordnung 24 ist. |
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| 12.09.2016, 19:30 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das möchte ich lieber nicht nachrechnen, ob die Produkte in HU paarweise verschieden sind. Ein einziges Produkt zu berechnen war für mich Arbeit genug. 
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