Tangentenfunktion & Funktionsspur

11.09.2016, 17:19

MrAppendixX

Tangentenfunktion & Funktionsspur

Hallo alle zusammen, ich habe da ein paar Aufgaben für Sek II bekommen, die ich bisher nicht zufriedenstellend lösen konnte.

Folgende Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=tx³-x² \end{eqnarray*}$

Die dazugehörigen Ableitungsfunktionen
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3tx²-2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6tx-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6t \end{eqnarray*}$

Dazu die bisherige Kurvendiskussion

code:

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[latex]
\begin{table}[]
\centering
\caption{My caption}
\label{my-label}
\begin{tabular}{llll}
\hline
                   & t=0   & t=1         & t=2         \\ \hline
Nullstellen        & 0     & 0;1         & 0;(1/2)     \\
Extrempunkt 1 (HP) & (0|0) & (0|0)       & (0|0)       \\
Extrempunkt 2 (TP) & (-)   & (2/3|-4/27) & (1/3|-1/27) \\
Wendepunkt         & (-)   & (1/3|-2/27) & (1/6|-1/54) \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
[/latex]

#Ich kriege diese Latex Tabelle nicht dargestellt, kennt sich irgendwer hiermit aus?
#Kann ich nicht einfach eine BB-Code Tabelle verwenden?

Für die Berechnung der einzelnen Werte, verwende ich die erstellten Formeln:
$\begin{eqnarray*} Nst=[0; 1/t] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} HP=(0|0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} TP=[(2)/(3t)|(-4)/(27t²)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} WP=[(1)/(3t)|(-2)/(27t²)] \end{eqnarray*}$

Nun zu den gestellten Fragen:

Gibt es eine Funktion der Schar, die durch den Punkt (1|1) verläuft?
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten in den Wendepunkten.
*Spezial* Liegen die Tiefpunkte, alle auf dem Graphen einer Funktion? (Funktionsspur)

Und dem, was ich bisher errechnet, oder problematisch empfunden habe.

Ja, aus der Schar, geht die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ durch den Punkt $\begin{eqnarray*} (1|1) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ ist.
Die Tangentengleichung verstehe ich nicht. Wie soll man aus der Funktionsgleichung mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , eine Tangentengleichung erstellen, die für $\begin{eqnarray*} t= \pm \infty \end{eqnarray*}$ gilt?
Mein Ansatz für Afg: 3 wäre: Zwei bis drei Tiefpunkte zu berechnen und diese in ein Lineares Gleichungssystem einzufügen. Danach nach a,b,c aufzulösen und daraus eine Funktion zusammenbasteln.

PS: Bitte nur Ansätze, keine vollständig durchgerechneten Lösungen. (will ich selber draufkommen)
PPS: Mein Lehrer hat's noch nicht so mit Operatoren im Abi, ich bitte um Nachsicht Big Laugh

11.09.2016, 17:38

adiutor62

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RE: Tangentenfunktion & Funktionsspur
Die Tangente t hat die Gleichung: (findest du in der Formelsammlung)

t(x)= (x-xW)*f '(xW)+f(xW)

xW=Wendepunkte

Stelle diese nun auf.

11.09.2016, 17:39

willyengland

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Warum Unendlich?

Aus f '' kannst du die Wendepunkte zu x = 2/6t bestimmen.

Nun musst du diese x-Werte in f ' einsetzen, um die Steigungen zu bekommen.

zu 3:
Könnte man so machen,
Mein Gedanke dazu noch: Die Tiefpunkte sind ja Lösungen von f ' = 0.

11.09.2016, 18:19

MrAppendixX

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RE: Tangentenfunktion & Funktionsspur

Zitat:

Original von adiutor62
Die Tangente t hat die Gleichung: (findest du in der Formelsammlung)

t(x)= (x-xW)*f '(xW)+f(xW)

xW=Wendepunkte

Stelle diese nun auf.

$\begin{eqnarray*} t(x)=(x-\frac{1}{3t} )*(3t( \frac{1}{3t})²-2(\frac{1}{3t}))+(t(\frac{1}{3t})³-(\frac{1}{3t})²) \end{eqnarray*}$

11.09.2016, 18:28

adiutor62

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RE: Tangentenfunktion & Funktionsspur
Ich würde das schon noch etwas zusammenfassen. smile

11.09.2016, 18:33

MrAppendixX

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Zitat:

Original von willyengland
Warum Unendlich?

Aus f '' kannst du die Wendepunkte zu x = 2/6t bestimmen.

Nun musst du diese x-Werte in f ' einsetzen, um die Steigungen zu bekommen.

Ich möchte eine Funktion haben, die die Steigung für den Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und der Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angibt.

Soll heißen $\begin{eqnarray*} f'_{t}(x)=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=24 \end{eqnarray*}$ soll mir nun folgende Antwort geben, die sowohl den angegebenen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Wert als auch den angegebenen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Wert miteinbezieht und mir die Steigung in diesem Punkt gibt.

$\begin{eqnarray*} f'_{t=2}(3)=48 \end{eqnarray*}$
Sowas in dieser Richtung. Oder missverstehe ich da was?

11.09.2016, 18:49

adiutor62

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3. Die Tiefpunkte bilden eine Hyperbel. Für t=0 ist f(t) = 2/(3t) nicht definiert.

11.09.2016, 18:56

willyengland

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Du willst doch die Steigung der Tangente im Wendepunkt bestimmen.
Den WP bekommst du mit f '' = 0.

Das ergibt $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3t} \end{eqnarray*}$ . Damit hast du den x-Wert des WP.

Den y-Wert bekommst du durch Einsetzen in die Funktion, also:

$\begin{eqnarray*} y=t*(\frac{1}{3t})^3-(\frac{1}{3t})^2 = \frac{2}{27t^2} \end{eqnarray*}$

Das ist also dein WP: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3t} | \frac{2}{27t^2}) \end{eqnarray*}$

Nun setzt du diesen x-Wert in f ' ein, um die Steigung der Tangente zu bekommen:

$\begin{eqnarray*} m = f ' (\frac{1}{3t}) = ... = - \frac{1}{3t} \end{eqnarray*}$

Damit ist deine Tagentengleichung bis hierher:

$\begin{eqnarray*} g(x) = - \frac{1}{3t} x + b \end{eqnarray*}$ ... wenn ich richtig gerechnet habe.

b bestimmst du nun durch Einsetzen des WP.

11.09.2016, 19:06

adiutor62

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@willy:
"Du willst doch die Steigung der Tangente im Wendepunkt bestimmen."

Das hat er doch schon gemacht. verwirrt

11.09.2016, 19:16

willyengland

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Ich habe nur den Ansatz dafür dargestellt, weil er mir dazu eine Frage gestellt hat.

Natürlich kann man es auch mit dieser Formel machen.
Ich bin allerdings kein Freund dieser Formel (sehe ich bei meiner Tochter): Denn sie wissen nicht, was sie tun ... smile

Aber ok, wenn es in der Schule so gelehrt wird, soll man es eben so machen.
Geht natürlich etwas schneller, wenn man es richtig macht.

11.09.2016, 19:22

adiutor62

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Formelsammlungen sind in Prüfungen zugelassen, soweit ich weiß.
Warum sie also nicht benutzen? smile

11.09.2016, 22:03

MrAppendixX

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Zitat:

Original von willyengland
Du willst doch die Steigung der Tangente im Wendepunkt bestimmen.
Den WP bekommst du mit f '' = 0.

Das ergibt $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3t} \end{eqnarray*}$ . Damit hast du den x-Wert des WP.

Den y-Wert bekommst du durch Einsetzen in die Funktion, also:

$\begin{eqnarray*} y=t*(\frac{1}{3t})^3-(\frac{1}{3t})^2 = \frac{2}{27t^2} \end{eqnarray*}$

Das ist also dein WP: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3t} | \frac{2}{27t^2}) \end{eqnarray*}$

Nun setzt du diesen x-Wert in f ' ein, um die Steigung der Tangente zu bekommen:

$\begin{eqnarray*} m = f ' (\frac{1}{3t}) = ... = - \frac{1}{3t} \end{eqnarray*}$

Damit ist deine Tagentengleichung bis hierher:

$\begin{eqnarray*} g(x) = - \frac{1}{3t} x + b \end{eqnarray*}$ ... wenn ich richtig gerechnet habe.

b bestimmst du nun durch Einsetzen des WP.

Ich habe wohl zu kompliziert gedacht. Ich ging davon aus, dass ich ne ellenlange Tangentenfunktion erstellen soll, die mit zig Variablen gespickt ist um für alle Eventualitäten vorbereitet zu sein.
Dein Ansatz macht mehr Sinn und führte mich sogar zu einer Lösung smile

$\begin{eqnarray*} g(x)=- \frac{1}{3t} x+ \frac{5}{27t²} \end{eqnarray*}$

Nun sitze ich allerdings immer noch an dieser Funktionsspur ohne wirklich weiter zu wissen.
Der Ansatz mit dem LGS ist für mich unrealisierbar, da ich nicht weiß, welchen Grad die Funktionsspur hat.
Ich gehe davon aus dass das eine Funktion 2. Grades ist. also sowas wie $\begin{eqnarray*} h(x)=- \frac{a}{b}x² \end{eqnarray*}$ ergibt.
Ich kann aber beim besten Willen nicht glauben, dass diese Funktion durch alle Tiefpunkte geht.
Ich kann schließlich unendlich viele Punkte bestimmen, durch die die Funktion auf jeden Fall gehen muss. Ich kann aber schlecht unendlich viele Bedingungen stellen (hab nur'n DIN A4 Papier zur Hand) und dann eine Funktion $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Grades runterrechnen.
Gibt es noch andere Ideen, außer des LGS, um so eine Funktionsspur zu erzeugen?

PS Entschuldigt, wenn meine Antwort etwas gedauert hat, das matheboard wollte mich nicht reinlassen unglücklich

11.09.2016, 22:50

willyengland

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Ist ja schon spät ...

Extremum f ' = 0

Also: $\begin{eqnarray*} 3tx^2-2x=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x(x-\frac{2}{3t} )=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y''(0) = -2 \end{eqnarray*}$ , also ein Maximum.

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{2}{3t} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y''=2 \end{eqnarray*}$ also Minimum.

Die Minima sind also durch folgende Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{2}{3t} \end{eqnarray*}$ , wie schon oben erwähnt, eine Hyperbel.

12.09.2016, 17:56

Bürgi

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Guten Tag,

wenn ich Deine Aufgabe richtig verstehe, suchst Du die Kurve, auf der alle Tiefpunkte liegen.
(Google mal nach geometrischer Ort aller Punkte, die ...)

$\begin{eqnarray*} T\left(\frac2{3t}\ \mid\ -\frac4{27t^2} \right) \end{eqnarray*}$

D.h. Du hast zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} x=\frac2{3t}\ \text{und} \ y=-\frac4{27t^2} \end{eqnarray*}$

1. Gleichung nach t auflösen und diesen Term in die 2. Gleichung einsetzen. Du erhältst eine Funktionsgleichung von volkstümlicher Schlichtheit.
In der Skizze ist die gesuchte Kurve aller TP eingezeichnet.
[attach]42594[/attach]

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