Lösungsmenge bestimmen

12.09.2016, 03:19

Joachim S.

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Lösungsmenge bestimmen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen !!

Wir haben folgende Aufgabe bekommen :
Schreiben Sie folgende linearen Gleichungssyteme in eine erweiterte Koeffizientenmatrix,
und bestimmen Sie anschließend die Lösungsmengen

Ich weiß zwar worum es hier geht aber ich berechne das nicht richtig.

Das ist die gegebene Gleichung :
$\begin{eqnarray*} 2x_{1} + x_{2}+ 3x_{4}- x_{5} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8x_{3} + 2x_{5} = 48 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9x_{4} - x_{5} = 24 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen wie ich das rechnen soll ?
Und wie sieht das Ergebnis aus ?

Meine Ideen:
Ich würde gerne nach x1 und x2 x3 usw.. auflösen.
Das kann ich wohl bei GLS mit drei Unbekannten.
Habe vergessen wie das mit fünf Unbekannten nochmal ging.

12.09.2016, 03:59

Iorek

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RE: Lösungsmenge bestimmen

Zitat:

Original von Joachim S.
Ich würde gerne nach x1 und x2 x3 usw.. auflösen.
Das kann ich wohl bei GLS mit drei Unbekannten.
Habe vergessen wie das mit fünf Unbekannten nochmal ging.

Das Verfahren lässt sich unabhängig von der Anzahl der Unbekannten anwenden. Stelle also die erweiterte Koeffizientenmatrix auf, schmeiß den Gauß-Algorithmus an und bringe die linke Seite der Matrix in (strikte) Zeilenstufenform. smile

smile

12.09.2016, 06:00

Joachim S.

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RE: Lösungsmenge bestimmen
Hallo Iorek !!
Erstmal danke für deine Antwort..

Boaaa diese Matrix ist schwer..

ich habe Rumprobiert habe erstmal die Nullen weg bekommen.
Ich muss doch noch die 9 in der letzten Zeile weggbekommen und die 2 oben links oder ?

Koeffizientenmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 & -1 &| 0\\ 0 & 0 & 8 & 0 & 2 &| 48 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -1 &| 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

I = I+II
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 8 & 3 & 1 &| 48\\ 0 & 0 & 8 & 0 & 2 &| 48 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -1 &| 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

II =II+III:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 8 & 3 & 1 &| 48\\ 0 & 0 & 8 & 9 & 1 &| 72 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -1 &| 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Gauß lief nicht gut.. muss noch geölt werden ;-)

Ich wundere mich nicht wenn da 100 Fehler sind .. smile

smile

smile

12.09.2016, 06:51

Dopap

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Nullen wegbekommen ( wer will denn sowas ??? ), die 9 wegbekommen ?

deine erste Matrix ist schon in Stufenform. Mehr ist nicht notwendig.

Der Rang ist 3. Man könnte jetzt rekursiv auflösen mit $\begin{eqnarray*} x_4=\frac {\lambda +24}{9} \quad \text{mit } \quad x_5= \lambda \end{eqnarray*}$

Weiter mit $\begin{eqnarray*} x_3=\frac {-2\lambda +48}{8} \end{eqnarray*}$

usw... Eine Variable kann dann noch frei als Parameter gewählt werden.

Die Lösungsmenge ist somit eine Hyperebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$

12.09.2016, 20:36

Joachim S.

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RE: Lösungsmenge bestimmen
Ahhha okay !!
Ich habe jetzt weiterhin alles aufgelöst
Nach x1 und x2 und habe folgendes raus
$\begin{eqnarray*} 2x_{1} + x_{2}+ 0 + 3(\frac{24+\lambda }{9})-\lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_{1} + x_{2}+ \frac{8}{3} - \frac{8}{9}\lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{9\lambda } -\frac{4}{3} - \frac{x_{2} }{2} = x_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{8}{9\lambda } -\frac{8}{3} - 2x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$

muss ich da nicht noch eine freie Variable für X2 wählen ?
oder bin ich damit fertig ?

12.09.2016, 21:17

Dopap

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muss man nicht, aber $\begin{eqnarray*} x_2=\mu \end{eqnarray*}$ ist schöner.

stell dann noch die Parameterform der Lösungsmenge auf. in Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec x =\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\x_5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\a_5 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\b_5 \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\c_5 \end{pmatrix}\qquad \text{und} \qquad \lambda, \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

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12.09.2016, 21:30

outSchool

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Zeilenstufenform
@Dopap
Bitte entschuldige, dass ich mich hier einmische.
Vor ein paar Tagen hatte ich auch auf einen ähnlichen Thread geantwortet.
Wie schon ganz zu Beginn, hat Iorek empfohlen, die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform zu bringen.
Da der Fragesteller ins Hochschulforum gepostet hat, gehe ich mal davon aus, dass hier Unistoff vermittelt wurde.

Warum Zeilenstufenform?
Danach kann man die erweiterte Koeffizientenmatrix so erweitern (umformen), damit man die Lösung direkt ablesen kann.

13.09.2016, 00:00

Joachim S.

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RE: Zeilenstufenform
Okay das habe ich versucht..
Es sieht bei mir so aus :

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\x_4\\x_5\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{-4}{3} \\ 0 \\ 6\\\frac{8}{3}\\0\\ \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} \frac{4}{9} \\ 0 \\ -\frac{1}{4} \\\frac{1}{9} \\1\\ \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0\\0\\0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist richtig so ?

Und das ist die gesuchte Lösungsmenge ?
Ich dachte es reicht wenn man nur
X1 =...
X2=...
X3=..
...
...
angibt.

13.09.2016, 01:20

Dopap

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gut so

Freude

damit ist eben die 2-dimensionale Lösungsmenge als lineare Mannigfaltigkeit schön sichtbar. Du könntest auch noch den ersten Spannvektor mit 36, den Zweiten mit 2 multiplizieren um ganzzahlige Koordinaten zu erhalten.

Dein aufgelöstes LGS ist noch keine Menge !

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\, | \, x_1=... , \land\, x_2=... \land ... \} \end{eqnarray*}$

wäre die beschreibende Form der TupelLösungsMenge.

---------------

Man kann zudem versuchen oberhalb der Diagonalen Nullen zu erzeugen ( Zeilenstufenform ), inclusive Vertauschung von Spalte 3 mit 2.

Die Sichtbarkeit der Lösungsmenge kann dir outSchool bestimmt gerne noch zeigen.

13.09.2016, 01:32

Joachim S.

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Ahh okay..
Vielen dank Dopap.
Jetzt kann ich die restlichen Aufgaben auch lösen :-)

13.09.2016, 10:31

outSchool

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Lösungsmenge

Zitat:

Original von Joachim S.
Boaaa diese Matrix ist schwer..

Wieviel Kilogramm hat sie denn?

Zitat:

Original von Joachim S.
Ich wundere mich nicht wenn da 100 Fehler sind ..

Die erweiterte Koeffizientenmatrix muss nur einmal umgeformt werden um sie auf Zeilenstufenform zu bringen.
Da kann man nur einen Fehler machen.

Die erweiterte Koeffizientenmatrix (wie vom Fragesteller bereits eingestellt) sieht nun wie folgt aus:
$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 1 & 0 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 & 2 & 48 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -1 & 24 \end{array} \right) \end{align*}$

Um auf Zeilenstufenform zu kommen, muss in Zeile 1, Spalte 4 die 3 eliminiert werden und danach die Pivot-Elemente auf 1 gesetzt werden.
$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{-1}{9} & \frac{8}{3} \end{array} \right) \end{align*}$

Jetzt werden Nullzeilen so eingefügt, dass die Matrix links des Striches quadratisch wird und die Pivot-Elemente Diagonalelemente werden.
$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{-1}{9} & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$

Danach werden die Nullelemente auf der Diagonalen durch -1 ersetzt.
$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -4 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{-1}{9} & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$

Rechts des Striches steht eine spezielle Lösung des linearen Gleichungssystems.
Die Lösung des homogenen Gleichungssystems kann man nun in den Spalten, in denen -1 eingefügt wurde, ablesen.
Die Lösungsmenge ist demnach:
$\begin{align*} L = \left\{ \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \\ \frac{8}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{9} \\ -1 \end{pmatrix} | \ \lambda, \mu \in \mathbb R \right\} \end{align*}$

@Dopap
Ich finde es erstaunlich, wie du dich im fortgeschrittenen Alter von 27 Jahren hier im Forum engagierst.
Deshalb von mir große Anerkennung für deine Unterstützung im MatheBoard.
Vielen wird geholfen, einige lassen sich die Hausaufgaben machen.
Wenn du mit 30 auch noch diese Kraft hast, Freude

Freude

13.09.2016, 12:43

Dopap

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Alter

Zitat:

Original von outSchool

@Dopap
Ich finde es erstaunlich, wie du dich im fortgeschrittenen Alter von 27 Jahren hier im Forum engagierst.[...]

27 Jahre, schön wär's, soll das ein Scherz sein verwirrt

verwirrt

13.09.2016, 13:07

outSchool

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RE: Alter

Zitat:

Original von Dopap
[quote]Original von outSchool
27 Jahre, schön wär's, soll das ein Scherz sein verwirrt

verwirrt

OK, ich habe etwas überzogen.
Können wir uns auf 25 einigen? Mit Zunge

Mit Zunge

14.09.2016, 00:14

Joachim S.

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RE: Lösungsmenge
Die Matrix wird wohl ihre 5 Gramm haben ;-)

Hausaufgaben machen lassen, bringt doch nichts.. man lernt doch nichts :-)

14.09.2016, 00:23

Joachim S.

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RE: Alter
Ich hätte da mal eine dumme Frage,

Wenn man die Übungsblätter die man in der Uni bekommt hier reinstellt.

Ich würde sagen einfach alle reinstellen. würde sich das positiv auswirken oder eher zu viel werden ?

Das gute hier im Forum, ist dass man so gut wie sicher eine Vernünftige Antwort bekommt.

Im Teamarbeit wissen die Leute oft selbst nicht wie man das rechnen kann..

Was meint ihr ?

Sonst würde ich gerne jede Aufgabe hier lösen. ( Wenn es Matheboard unterstützt und man das nicht als eine " Ausnutzerei" sieht smile

smile

smile

14.09.2016, 02:39

Dopap

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@ outSchool:

laut Kowalski lin. Algebra 1972 Augenzwinkern

Augenzwinkern

hatten wir die Matrix mit Nullzeilen quadratisch gemacht und durch Spaltenvertauschung derart bearbeitet, dass die einsen in der Diagonale lückenlos waren.
$\begin{eqnarray*} 1 = a_{11}=a_{22} = ... = a_{rr} \quad \text{mit}\quad r<n \end{eqnarray*}$
Dann spaltenweise nach rechts gestellt und die Vertauschungen in den Zeilen berücksichtigt.
In den "SpaltenNullResten" vorher noch jeweils der Reihe nach eine eins gesetzt.

Die Spannvektoren sind dann richtigerweise invers zu deiner Methode. Insgesamt gibt sich das aber nicht viel. Richtig ?

14.09.2016, 10:57

Iorek

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Das Einstellen kompletter Übungsblätter kann problematisch sein. Zumindest bei uns an der Uni werden die Übungsblätter nicht öffentlich angeboten, nur Studenten der jeweiligen Kurse können in geschützten Bereichen auf die Übungsblätter zugreifen.

Meiner Meinung nach ist aber auch das Einstellen jeder einzelnen Aufgabe in einem eigenen Thread nicht sinnvoll und verfehlt das Lernziel des Übungsbetriebs.

Zitat:

Im Teamarbeit wissen die Leute oft selbst nicht wie man das rechnen kann..

Das ist normal und gewollt. Die Übungsblätter sollen einerseits den Stoff der Vorlesung vertiefen, andererseits zur eigenen Beschäftigung mit dem Thema anregen. Es ist nicht Sinn der Sache, sich für jede Aufgabe erklären zu lassen, wie man diese löst, sondern man sollte selber die Lösung erarbeiten. Dafür muss man sich mit den Aufgaben intensiv beschäftigen, in der Arbeitsgruppe über die Aufgaben diskutieren, verschiedene Ansätze ausprobieren und damit scheitern...

Natürlich kannst du dich gerne bei Fragen und Problemen melden und einen Thread dafür eröffnen, dafür ist das Matheboard ja da. Allerdings solltest du Bedenken, dass die Hilfe sich in der Regel auf eine konkrete Aufgabenstellung bezieht. Das Denken und die Beschäftigung mit dem Stoff können wir dir nicht abnehmen.

14.09.2016, 19:05

outSchool

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Nachgerechnet

Zitat:

Original von Dopap
Die Spannvektoren sind dann richtigerweise invers zu deiner Methode. Insgesamt gibt sich das aber nicht viel. Richtig ?

@Dopap
Ich habe das jetzt mal nach deinem Vorschlag gerechnet.
Allerdings habe ich vor Einfügen der 1 in den letzten beiden Spalten die Koeffizienten mit (-1) multipliziert.
Zu berücksichtigen ist noch bei Spaltentausch, dass die Variablen mitgetauscht werden.
$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccccc|c} x_1 & x_3 & x_4 & x_2 & x_5 \\ 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$

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