perfekte Paarung

12.09.2016, 16:48

Julia 004

perfekte Paarung

Meine Frage:
Finde eine perfekte Paarung
< , >: V x V -> K
und einen Unterraum W $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ V, sodass
< , >: W x W -> K eine nicht perfekte Paarung ist.

Meine Ideen:
Ich habe eine Idee bin mir allerdings nicht sicher, ob ich die Einschränkung so definieren darf, wie ich es getan habe.

Sei V = K^3 ein endlicher Körper mit
< , >: V x V -> K
(v,v) = v^t*A*v

mit A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Da det(A) =-1 also ungleich 0 folgt: < , >: V xV -> K ist nicht ausgeartet $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ perfekt (da V endlich)

Jetzt schränke ich V auf W = K^2 ein und somit auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
also :
< , >: W x W -> K
(w,w) = w^t*A'*w

mit A' = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier gilt det (A') =1-1 = 0 und somit A' nicht ausgeartet $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht perfekt (da W endlich)

18.09.2016, 08:43

Math1986

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RE: perfekte Paarung

Zitat:

Original von Julia 004
Meine Frage:
Finde eine perfekte Paarung
< , >: V x V -> K
und einen Unterraum W $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ V, sodass
< , >: W x W -> K eine nicht perfekte Paarung ist.

Meine Ideen:
Ich habe eine Idee bin mir allerdings nicht sicher, ob ich die Einschränkung so definieren darf, wie ich es getan habe.

Sei V = K^3 ein endlicher Körper mit
< , >: V x V -> K
(v,v) = v^t*A*v

mit A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Da det(A) =-1 also ungleich 0 folgt: < , >: V xV -> K ist nicht ausgeartet $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ perfekt (da V endlich)

Jetzt schränke ich V auf W = K^2 ein und somit auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
also :
< , >: W x W -> K
(w,w) = w^t*A'*w

mit A' = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier gilt det (A') =1-1 = 0 und somit A' nicht ausgeartet $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht perfekt (da W endlich)

1) $\begin{eqnarray*} V=K^3 \end{eqnarray*}$ ist ein Vektorraum, kein Körper. Da musst du unterscheiden.

2) Es ist det(A)=1.

3) Ist $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ denn ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} K^3 \end{eqnarray*}$ ? Ist überhaupt $\begin{eqnarray*} K^2\subseteq K^3 \end{eqnarray*}$ ?

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