Charakteristische Funktion, Dreiecksverteilung

12.09.2016, 21:20

StrunzMagi

Charakteristische Funktion, Dreiecksverteilung

Berechne die charakteristishe Funktion von X, wenn X dreiecksverteilt ist ( $\begin{eqnarray*} f_X (x)= max(0,1-|x-1|) \end{eqnarray*}$ . Einmal indem Sie das Integral berechnen und einmal ohne Integrale zu berechnen.

Hallo
a)
$\begin{eqnarray*} f_X(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \ge 2 \vee x<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_X (x)= 1-|x-1| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \le x \le 2 \end{eqnarray*}$

Daraus habe ich hergeleitet $\begin{eqnarray*} f_X(x)= (1-|x-1|)1_{(0,2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi_X(u)= E(e^{iuX})= \int_{0}^2 e^{iux}(1-|x-1|)dx= \int_{0}^1 e^{iuX} x dx + \int_1^2e^{i uX} (2-x) dx \end{eqnarray*}$

Das erste Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 e^{iux}x dx = \frac{x e^{iux}}{iu}|_0^{1} - \frac{1}{iu} \int_{0}^1 e^{iux}= \frac{-iu e^{iu} + e^{iu}-1}{u^2} \end{eqnarray*}$
Erste Teil des zweiten Integrals: $\begin{eqnarray*} 2 \int_1^2 e^{i uX} = \frac{2}{iu} [e^{iu*2}-e^{iu}] \end{eqnarray*}$
Zweite Teil des zweiten Integrals: $\begin{eqnarray*} - \int_{1}^2 e^{iux}x dx =- \frac{-2*i*u*e^{iu2}+e^{iu}*u*i + e^{iu2}-e^{iu}}{u^2} \end{eqnarray*}$

Zusammen: $\begin{eqnarray*} \phi_X(u)= \frac{-iu e^{iu} + e^{iu}-1-2*i*u e^{iu*2}+2e^{iu}*u*i}{u^2} - \frac{-2*i*u*e^{iu2}+e^{iu}*u*i + e^{iu2}-e^{iu}}{u^2} = \frac{2*e^{iu}-e^{iu2}-1}{u^2}= -\frac{(1-e^{iu})^2}{u^2} \end{eqnarray*}$

b)
Es gilt sind Z,Y unabhängig so gilt $\begin{eqnarray*} \phi_{Z+Y} (u)= \phi_Z (u) \phi_Y(u) \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} Z \sim U(a,b) \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} \phi_Z= \frac{1}{(b-a)iu} [e^{iub}-e^{iua}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z \sim U(a,b), Y \sim U(c,d) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \int_{a}^b \frac{1}{a-b} \frac{1}{d-c} * 1_{(c,d)} (y-x_1) dx_1 \end{eqnarray*}$
Mhm, aber so entsteht immer eine Trapezförmge Dichte und kein Dreieck.
Wie muss ich nun die Parameter a,b,c,d wählen sodass ich genau diese Dreiecksverteilung hinbekomme?

12.09.2016, 21:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Daraus habe ich herheleitet $\begin{eqnarray*} f_X(u)= (1-|x|)1_{(-1,1)} \end{eqnarray*}$

12.09.2016, 22:50

StrunzMagi

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Ich habe den Fehler in a) ausgebessert Augenzwinkern

Lg,
Magi

13.09.2016, 12:51

HAL 9000

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Wenn du b) ausrechnest, kommst du in dem Fall $\begin{align*} a=c=0,b=d=1 \end{align*}$ auf

$\begin{align*} \phi_Y(u) = \phi_Z(u) = \frac{1}{(b-a)iu}\left[e^{iub}-e^{iua}\right] = \frac{1}{iu}\left[e^{iu}-1\right] \end{align*}$

und somit auf

$\begin{align*} \phi_Y(u)\cdot \phi_Z(u) = -\frac{1}{u^2} \left[e^{iu}-1\right]^2 \end{align*}$

in schönster Übereinstimmung mit a). Wo ist jetzt das Problem? verwirrt

Zitat:

Original von StrunzMagi
$\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \int_{a}^b \frac{1}{a-b} \frac{1}{d-c} * 1_{(c,d)} (y-x_1) dx_1 \end{eqnarray*}$
Mhm, aber so entsteht immer eine Trapezförmge Dichte und kein Dreieck.
Wie muss ich nun die Parameter a,b,c,d wählen sodass ich genau diese Dreiecksverteilung hinbekomme?

Die Gleichverteilungen müssen gleich breit sein, d.h. $\begin{align*} b-a = d-c \end{align*}$ , um für die Summe eine Dreieckverteilung zu bekommen.

15.09.2016, 09:19

StrunzMagi

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Hallo,
Danke für deine Antwort.

Mein problem ist, ich verstehe nicht wie man auf $\begin{eqnarray*} a=c=0, b=d=1 \end{eqnarray*}$ kommt. (Jetzt wo du das vorgeschlagen hast, kann ich nachrechnen, dass es richtig ist aber ich wüsste nicht wie ich darauf kommen sollte)
Die Dichte der Dreiecksverteilung ist das Dreieck $\begin{eqnarray*} (0,0), (1,1), (2,0) \end{eqnarray*}$

Wenn ich a,b,c,d so setze in $\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \int_{a}^b \frac{1}{a-b} \frac{1}{d-c} * 1_{(c,d)} (y-x_1) dx_1 \end{eqnarray*}$ dann integriere ich über ein Trapez mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} (0,0), (0,1), (1,1), (1,2) \end{eqnarray*}$

Ich meine ich habs ausgerechnet und es kommt das richtige heraus:
Für $\begin{eqnarray*} 0 \le z \le 1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \int_0^y dx_1 =y \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} 1 \le z \le 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \int_{y-1}^1 dx_1= 2-y \end{eqnarray*}$
Sonst $\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)=0 \end{eqnarray*}$

Wie komme ich bereits bei der Zeichung des Trapezes hierauf? Wie hängt das Trapez mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} (0,0), (0,1), (1,1), (1,2) \end{eqnarray*}$ mit den Dreieck zusammen in der Skizze?

15.09.2016, 13:15

HAL 9000

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Ich weiß nicht, wo du da angeblich über ein Trapez mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} (0,0), (0,1), (1,1), (1,2) \end{eqnarray*}$ integrieren willst. Das Integral hier

Zitat:

Original von StrunzMagi
$\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \int_{a}^b \frac{1}{a-b} \frac{1}{d-c} * 1_{(c,d)} (y-x_1) dx_1 \end{eqnarray*}$

ist ein Integral über ein Intervall, nicht über eine Fläche (geschweige denn Trapezfläche). unglücklich

16.09.2016, 07:54

StrunzMagi

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Ich meinte mit dem Trapez, dass ich mir anschauen muss wo der Integrand nicht 0 ist und das ist nunmal in $\begin{eqnarray*} 0 \le y-x_1 \le 1, 0 \le x_1 \le 1 \end{eqnarray*}$ für deine gewählten $\begin{eqnarray*} a=c=0, b=d=1 \end{eqnarray*}$ und dabei kommt genau dieses Trapez heraus, dass ich angesprochen habe.
Ich bin leider noch nicht draufgekommen wie du auf a,b,c,d kommst (wie gesagt, dass sie zum Ziel führen hab ich vorigen Post nachgerechnet) aber ich weiß nicht wie ich darauf komme.

16.09.2016, 08:09

HAL 9000

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Einfach mal ausrechnen, was für allgemeine $\begin{align*} a,b,c,d \end{align*}$ passiert. Nun, vielleicht nicht ganz allgemein - abgesehen von den selbstverständlichen $\begin{align*} a<b \end{align*}$ und $\begin{align*} c<d \end{align*}$ kann man sich o.B.d.A. mit $\begin{align*} d-c \geq b-a \end{align*}$ begnügen, d.h. einer "breiteren" Gleichverteilung von $\begin{align*} Y \end{align*}$ (andernfalls Tausch der Rollen von $\begin{align*} Y \end{align*}$ und $\begin{align*} Z \end{align*}$ ). Damit gilt dann zunächst generell

$\begin{align*} f_{Z+Y}(y) = \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int\limits_a^b 1_{(c,d)} (y-x_1) ~ \dd x_1 = \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int\limits_a^b 1_{(y-d,y-c)} (x_1) ~ \dd x_1 \end{align*}$

und aufgeschlüsselt nach Intervallen schließlich:

1) für $\begin{align*} y<a+c \end{align*}$ sowie $\begin{align*} y>b+d \end{align*}$ natürlich $\begin{align*} f_{Z+Y}(y)=0 \end{align*}$ ,

2) für $\begin{align*} a+c\leq y\leq b+c \end{align*}$ :

$\begin{align*} f_{Z+Y}(y) = \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int\limits_a^{y-c} ~ \dd x_1 = \frac{y-a-c}{(b-a)(d-c)} \end{align*}$

3) für $\begin{align*} b+c\leq y\leq a+d \end{align*}$ :

$\begin{align*} f_{Z+Y}(y) = \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int\limits_a^b ~ \dd x_1 = \frac{1}{d-c} \end{align*}$

4) für $\begin{align*} a+d\leq y\leq b+d \end{align*}$

$\begin{align*} f_{Z+Y}(y) = \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int\limits_{y-d}^b ~ \dd x_1 = \frac{b+d-y}{(b-a)(d-c)} \end{align*}$ .

Diese Dichte ist dann von der Form her ein gleichschenkliges Trapez. Zum Dreieck wird es nur, wenn Intervall 3) wegfällt, d.h. Länge 0 hat, das bedeutet $\begin{align*} b+c=a+d \end{align*}$ oder eben wie bereits erwähnt $\begin{align*} b-a=d-c \end{align*}$ . Zusammen mit $\begin{align*} a+c=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} b+d=2 \end{align*}$ hat man dann ein Gleichungssystem, welches auf die Lösung

$\begin{align*} a &= t\\ b &= t+1\\ c &= -t\\ d &= -t+1 \end{align*}$

führt. D.h., die Lösung ist nicht eindeutig, sondern kann durch einen Parameter $\begin{align*} t \end{align*}$ parametrisiert werden - klar, man kann das eine Intervall um $\begin{align*} t \end{align*}$ in die eine Richtung verschieben zu $\begin{align*} [t,t+1] \end{align*}$ und "korrigiert" das dann bei dem anderen durch $\begin{align*} [-t,-t+1] \end{align*}$ . Augenzwinkern

18.09.2016, 10:02

StrunzMagi

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Hallo,
Danke für deine Hilfe!
Ich habe das mal versucht in die andere Richtung:

Ich betrachte ab jetzt den Fall $\begin{eqnarray*} a-d< b-c \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} b-a > c-d \end{eqnarray*}$ .

Dann habe ich die Fallunterscheidung:
Für $\begin{eqnarray*} a-c <y<a-d \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int_a^{y-c} dx_1 = \frac{y-c-a}{(b-a)(d-c)} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a-d < y<b-c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int_{y-d}^{y-c} dx_1 = \frac{d-c}{(b-a)(d-c)}= \frac{1}{b-a} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} b-c < y<b-d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{Z+Y} (y)= \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int_{y-d}^{b} dx_1 = \frac{b-y+d}{(b-a)(d-c)} \end{eqnarray*}$

Sonst 0.

Hier hätte ich dann das Gleichungssystem: $\begin{eqnarray*} a-c=0, b-d=2, a-d=b-c \end{eqnarray*}$
Das führt aber zu $\begin{eqnarray*} c=t, d=t-1, b=t+1, a=t \end{eqnarray*}$ mit Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und da muss bei c,d doch etwas schief gelaufen sein??

19.09.2016, 11:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Ich betrachte ab jetzt den Fall $\begin{eqnarray*} a-d< b-c \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} b-a > c-d \end{eqnarray*}$ .

Inwiefern ist das ein "Fall" ?

Wenn du die Intervalle $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ und $\begin{align*} [c,d] \end{align*}$ betrachtest, dann ist von Haus aus $\begin{align*} a\leq b \end{align*}$ und damit $\begin{align*} b-a\geq 0 \end{align*}$ , sowie $\begin{align*} c\leq d \end{align*}$ und damit $\begin{align*} c-d\leq 0 \end{align*}$ , es gilt also sowieso immer $\begin{align*} b-a\geq c-d \end{align*}$ .

D.h., außer in dem Extremfall, dass beide Intervalle nur aus einem Punkt bestehen, gilt sogar $\begin{align*} b-a> c-d \end{align*}$ .

Und das hier ist in dem Zusammenhang erst recht Unsinn:

Zitat:

Original von StrunzMagi
Für $\begin{eqnarray*} a-c <y<a-d \end{eqnarray*}$ :

[...]

Für $\begin{eqnarray*} b-c < y<b-d \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{align*} c\leq d \end{align*}$ gibt es solche $\begin{align*} y \end{align*}$ gar nicht, weder im ersten noch im zweiten "für". unglücklich

Den Rest habe ich mir nicht angesehen - wenn bereits die Voraussetzungen derart unstimmig sind, ist es ein mühsames Unterfangen, aus dem Rest noch was retten zu wollen.

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