Hypothesentest Batterielebensdauer

13.09.2016, 14:25

gamlastan

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Hypothesentest Batterielebensdauer

Hallo, es geht um folgende Aufgabe:

A producer specifies that the mean lifetime of a certain type of battery is a t least 240 hours. A sample of 18 such batteries yielded the following data.

237, 242, 232, 242, 248, 230, 244, 243, 254, 262, 234, 220, 225, 236, 232, 218, 228, 242.

Assuming that the lifetime of the batteries is approximately normally distributed, do the data indicate that the specifications are not beeing met?

Also, wenn ich die Aufgabe richtig deute, soll überprüft werden, ob der Wert des Produzenten haltbar ist oder nicht. Stichwort Hypothesentest. Berechnen kann ich den Wert $\begin{eqnarray*} \bar{x} = 237.05 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = 11.2797 \end{eqnarray*}$ .

Es ist aber kein Signifikantslevel gegeben...
Wie kann ich dann vorgehen?

13.09.2016, 14:58

HAL 9000

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Es geht um einen Mittelwerttest bei Normalverteilung, hier der einfache t-Test (wg. unbekannter Varianz)

$\begin{align*} H_0:\; \mu=\mu_0\\ H_A:\; \mu<\mu_0 \end{align*}$

(einseitige Alternative für kleinere Lebensdauer, da uns größere Lebensdauer hier aus Kundensicht nicht stört).

Du könntest den p-Wert des Tests bestimmen, dann weißt du genau, bei welchem Wert das Verhalten des Tests "umschlägt":

Für $\begin{align*} \alpha > p \end{align*}$ dann Ablehnung $\begin{align*} H_0 \end{align*}$ zugunsten von $\begin{align*} H_A \end{align*}$ , für $\begin{align*} \alpha < p \end{align*}$ hingegen keine solche Ablehnung.

13.09.2016, 15:03

gamlastan

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Daran hatte ich schon gedacht, komme aber nicht darauf, wie ich diesen P-Wert berechne... Siehe meinen Thread P-Wert - Hypothesentest

13.09.2016, 15:07

HAL 9000

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Lass mich vorher noch folgendes sagen: Du hast hier kein $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ vorliegen, genausowenig wie $\begin{align*} \mu \end{align*}$ . Du kannst beide nur schätzen, durch $\begin{align*} s \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \bar{x} \end{align*}$ . Zudem sind beide Werte bei dir falsch angegeben, ich komme auf $\begin{align*} \bar{x}=237.17 \end{align*}$ und $\begin{align*} s=11.32 \end{align*}$ .

13.09.2016, 15:11

gamlastan

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Zitat:

Original von HAL 9000
Lass mich vorher noch folgendes sagen: Du hast hier kein $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ vorliegen, genausowenig wie $\begin{align*} \mu \end{align*}$ . Du kannst beide nur schätzen, durch $\begin{align*} s \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \bar{x} \end{align*}$ . Zudem sind beide Werte bei dir falsch angegeben, ich komme auf $\begin{align*} \bar{x}=237.17 \end{align*}$ und $\begin{align*} s=11.32 \end{align*}$ .

Ja sorry ich meine S und $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ . Die Werte habe ich mit Matlab berechnet, möglicherweise ist dabei ein Fehler unterlaufen. Ich werde dies prüfen..

Anmerkung: Im Link ging es um eine, verteilung in der Sigma bekannt ist. Hier ist Sigma unbekannt (wie von die gesagt) Daher kommt die T-Verteilung ins Spiel.

13.09.2016, 15:13

HAL 9000

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Testgrößenwert ist hier $\begin{align*} t = \sqrt{n}\frac{\bar{x}-\mu_0}{s} \end{align*}$ , bei der angegebenen linksseitigen Alternative ist der zugehörige p-Wert dann $\begin{align*} F_{t_{n-1}}(t) \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} F_{t_{n-1}} \end{align*}$ die Verteilungfunktion der t-Verteilung mit $\begin{align*} (n-1) \end{align*}$ Freiheitsgraden ist (siehe verlinkten Wikibeitrag zum p-Wert). Liegt in Tabellenwerken meist nicht vor, aber Statistiksysteme sowie CAS haben die "drauf".

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13.09.2016, 15:35

gamlastan

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Also es gilt, dass H_0 abgelehnt wird, wenn $\begin{eqnarray*} (\bar{X}-\mu _{0})\frac{\sqrt{n} }{S} < F_{T_{17} } ^{-1}(\alpha ) = -F_{T_{17} } ^{-1}(1-\alpha) \end{eqnarray*}$

und bei Umkehrung der Ungleichung wird H0 akzeptiert.

Ich kenne aber weder $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \mu _{0} \end{eqnarray*}$ .

ALso kann ich den P-Wert gar nicht berechnen...

13.09.2016, 17:32

gamlastan

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Ok klar die 240 sind mein µ.
Ich komme dann auf ein Wert von -1.1075 für die linke Seite obiger Gl.

13.09.2016, 19:09

HAL 9000

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Naja, ich komme auf -1.062 - vielleicht arbeiten wir mit verschiedenen Stichproben...

So, und der p-Wert dazu ist dann eben $\begin{align*} F_{t_{17}}(-1.062) \approx 0.152 \end{align*}$ .

13.09.2016, 19:38

gamlastan

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Zitat:

Original von HAL 9000
Naja, ich komme auf -1.062 - vielleicht arbeiten wir mit verschiedenen Stichproben...

So, und der p-Wert dazu ist dann eben $\begin{align*} F_{t_{17}}(-1.062) \approx 0.152 \end{align*}$ .

Und dieser Wert ist dann das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit dem ich wie gewohnt rechnen kann?

13.09.2016, 20:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von gamlastan
Und dieser Wert ist dann das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit dem ich wie gewohnt rechnen kann?

Wie der Wert aufzufassen ist, steht eigentlich im verlinkten Wiki-Beitrag zum p-Wert, und überdies habe ich es oben auch schon mal erwähnt:

Zitat:

Original von HAL 9000
Für $\begin{align*} \alpha > p \end{align*}$ dann Ablehnung $\begin{align*} H_0 \end{align*}$ zugunsten von $\begin{align*} H_A \end{align*}$ , für $\begin{align*} \alpha < p \end{align*}$ hingegen keine solche Ablehnung.

Wir haben hier wie bereits erwähnt p=0.152, was bei "üblichen" $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ -Werten wie 0.01, 0.05 oder 0.10 also stets "keine Ablehnung" heißt.

13.09.2016, 20:44

gamlastan

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Naja gut. Was für mich komisch ist, ist dass bei den Aufgaben die angefügten Tabellen der inversen T-Verteilung nur bis n = 10 geht und nur für p Werte 0.95, 0.975, 0.99, 0995 angegenben sind. Für die T Verteilung gar keine Tabelle... verwirrt

verwirrt

13.09.2016, 21:08

HAL 9000

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Ich denke, du arbeitest mit Matlab? Wozu brauchst du dann noch diese Tabellen?

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

x = [237, 242, 232, 242, 248, 230, 244, 243, 254, 262, 234, 220, 225, 236, 232, 218, 228, 242];
mu0 = 240;
n = numel(x);
xm = mean(x);
xs = std(x);
t = sqrt(n)*(xm-mu0)/xs;
pvalue = tcdf(t,n-1);
[n,xm,xs,t,pvalue]

15.09.2016, 13:17

gamlastan

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In einer Klausur (die Aufgabe stammt aus einer Probeklausur) habe ich natürlich kein Matlab.

Berchnungen nochmal aufgedröselt:

http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=166626-1473937542.png

Das sind die Berechnungen fürs erste...

Jetzt ist weder eine kritische Region noch ein Signifikantslevel gegeben...

Allg gilt: $\begin{eqnarray*} H_{0} \end{eqnarray*}$ wird abgelehnt wenn $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} }{S} | \bar{x} - \mu _{0} | > F_{T_{17} } ^{-1} \left(1-\frac{\alpha }{2} \right) \end{eqnarray*}$
und akzepiert sofern $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} }{S} | \bar{x} - \mu _{0} | \leq F_{T_{17} } ^{-1} \left(1-\frac{\alpha }{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Au dem script ergibt sich das p-value zu: $\begin{eqnarray*} \tilde{\alpha }=2\left(1-F_{T_{17} } (T)\right) \end{eqnarray*}$

setzte ich diesen Wert $\begin{eqnarray*} \tilde{\alpha } \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in die Ungleichung oben ein, steht rechts und links das selbe...

Wie komme ich also nun weiter?

15.09.2016, 13:44

HAL 9000

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Dazu zunächst eine Frage:

Wieso gehst du nun zu einem zweiseitigen Test über? Stören dich etwa auch "zu lange" Batterielebensdauern? verwirrt

verwirrt

15.09.2016, 14:17

gamlastan

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Sorry bin in der Seite verrutscht... Gott

Gott

Die Betragsstriche müssen beim T durch einfach Klammern ersetzt werden.
Es müsste heißen:

Zitat:

Original von gamlastan
In einer Klausur (die Aufgabe stammt aus einer Probeklausur) habe ich natürlich kein Matlab.

Berchnungen nochmal aufgedröselt:

http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=166626-1473937542.png

Das sind die Berechnungen fürs erste...

Jetzt ist weder eine kritische Region noch ein Signifikantslevel gegeben...

Allg gilt: $\begin{eqnarray*} H_{0} \end{eqnarray*}$ wird abgelehnt wenn $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} }{S} ( \bar{x} - \mu _{0} )< F_{T_{17} } ^{-1} \left(\alpha \right) \end{eqnarray*}$
und akzepiert sofern $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} }{S} ( \bar{x} - \mu _{0} )\geq F_{T_{17} } ^{-1} \left(\alpha \right) \end{eqnarray*}$ .

Au dem script ergibt sich das p-value zu: $\begin{eqnarray*} \tilde{\alpha }=F_{T_{17} } (T) \end{eqnarray*}$

setzte ich diesen Wert $\begin{eqnarray*} \tilde{\alpha } \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in die Ungleichung oben ein, steht rechts und links das selbe...

Wie komme ich also nun weiter?

15.09.2016, 15:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von gamlastan
Wie komme ich also nun weiter?

Ehrlich gesagt sehe ich keine Veranlassung, ein drittes Mal zu wiederholen, was ich schon zweimal oben dargelegt habe. Ich sehe es als ein Zeichen der Missachtung an, dass du die Antwort ignorierst und stattdessen ständig die Frage wiederholst.

17.09.2016, 11:22

gamlastan

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von gamlastan
Wie komme ich also nun weiter?

Ehrlich gesagt sehe ich keine Veranlassung, ein drittes Mal zu wiederholen, was ich schon zweimal oben dargelegt habe. Ich sehe es als ein Zeichen der Missachtung an, dass du die Antwort ignorierst und stattdessen ständig die Frage wiederholst.

Nunja, ich sage mal so. Auch ich habe ja (mehrfach) gesagt, dass ich die hiergezeigten Formeln nehmen muss und auch welche Tabellen ich zur Verfügung habe. Mein Skript und die angehängte Tabelle (nicht bis n-1 = 17) sind erlaubt. Damit muss ich das ganze lösen (und somit muss es auch damit lösbar sein).

Die Kernfrage ist eigentlich nur, ob ich (da kein alpha angegeben) das p-Value als alpha auffassen kann. Wenn das Bejahung erhält habe ich ja schon auf die obige Ungleichung hingewiesen, bei der dann auf beiden Seiten das gleiche steht. Dies würde bedeuten, beim p-value würde die Nullhypothese stets angenommen...

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