Matrix, Basis, Dimension

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Sergeij Beck Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix, Basis, Dimension
Meine Frage:
Guten Tag !

Ich habe hier eine Aufgabe gelöst, und würde gerne jemanden bitten kurz zu schauen ob ich das richtig gemacht habe.

Aufgabenstellung :

Berechnen Sie die Lösungsmengen zu den folgenden Gleichungssystemen

Bestimmen Sie außerdem den Rang der Matrix A, sowie eine Basis und die Dimension von






Meine Umgeformte Matrix sieht so aus



Danach habe ich X1, X2, X3, X4, berechnet







Ist das soweit okay oder ist es völlig falsch ?

Vielen Dank in Vorraus!!


Meine Ideen:
Und als Antwort würde ich sagen
dass der Rang der Matrix ( A) 3 ist und auch der Rang der Matrix (Ab) Ebenfalls 3
Es gibt in dieser Matrix drei Basisvektoren.
Sowie die Demension drei ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht völlig falsch, nur völlig falsche Schreibweise A=A+bb . Die bis dahin umgeformte Matrix ist in Ordnung, und dann machst Du ein paar Rechenfehler . Ich halte es für besser, die Matrix so lange umzuformen, bis sie links oben eine Einheitsmatrix enthält , weil man dann die Lösungen viel leichter ablesen kann.

Der Rang der Matrizen A und Ab ist 3. Eine Matrix enthält keine Basisvektoren und hat keine Dimension. Ein Vektorraum, speziell der Lösungsraum eines homogenen LGS enthält eine Basis und hat eine Dimension. Die Dimension von L(A,0) ist tatsächlich 3 (nämlich gleich dem Rang von A gleich dem Rang von Ab), eine Basis von L(A,0) musst Du noch berechnen.
 
 
Sergeij Beck Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet denn
?

Und was muss ich machen um den zu berechnen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die 4x4-Matrix vermittelt bei gegebener Standardbasis des eine lineare Abbildung vermöge der Zuordnung . Der Rang der Matrix ist gleich der Dimension des Untervektorraums und ist der Untervektorraum der Vektoren, die auf 0 abgebildet werden.

ist der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems , ist die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems . ist für kein Untervektorraum des Definitionsraums, sondern eine Nebenklasse des Kern von . Man sagt auch, dass die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems aus einer speziellen Lösung und der allgemeinen Lösung des homogenen LGS zusammengesetzt ist.

Übrigens gilt für jede lineare Abbildung der Dimensionssatz .
Also hier:
Sergeij Beck Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis !! Gott Gott Gott
ich habe das in etwa verstanden was du meinst, bloß irgedwie komme ich nicht drauf wie ich anfangen soll die Aufgabe zu berechnen.

Kannst du mir sagen welche Schritte ich als erstes tun muss um das zu berechnen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Den Anfang mit dem Gauß-Algorithmus hast Du schon gemacht. Mach den Gauß-Algorithmus weiter, bis du auf die von mir angegebene Form mit einer Einheitsmatrix oben links kommst. Daraus liest Du die Lösung des LGS Ax=b ab.
Der zweite Teil der Aufgabe erfordert die Lösungsmenge des LGS Ax=0, das kannst Du offenbar aus genau dieser selben Matrix ablesen. Vergiß einfach, dass rechts etwas ungleich 0 steht. Wir wissen schon, dass der Rang von A gleich 3 ist, also der Kern die Dimension 1 hat. Der eine Basisvektor, der sich hier ergibt, ist genau das was Du brauchst.
Sergeij Beck Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich gemacht und habe raus :
x1 = -5 + 1/2 \Lambda
x2 = -3/2- 3/8 \Lambda
X3 = -1 + 1/2 \Lambda
x4 = \Lambda
das sind ja die Lösungsmengen von LGS Ax=0, habe ich das richtig verstanden ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du falsch verstanden. Das wären die Lösungen (wenn sie denn richtig wären) des GLS A*x = b.
Deine Lösung erfüllt aber z. B. nicht die 3. Gleichung: 8 * x_3 + 4 * x_4 = -8
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Sergeij Beck
Du sollst die Lösung nicht erraten sondern berechnen. Augenzwinkern Wenn Du alle Matrizen des Gauß-Algorithmus hier zeigst, kann ich dir sagen, wo Du dich verrechnet hast. Man muss den Gauß-Algorithmus nicht nur kennen, man muss ihn auch können (ich weiß aus Erfahrung, dass man sich als Anfänger immer wieder verrechnet, nach 1000 mal rechnen wird es besser).
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