Optimierung mithilfe der Binomialverteilung: Personenvermittlung

14.09.2016, 15:14

Mathefrager001

Optimierung mithilfe der Binomialverteilung: Personenvermittlung

Meine Frage:
Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:
"Eine Agentur vermittelt Personen, die für Hersteller von Geräten für Hobby-Heimwerker die Handhabbarkeit der Geräte testen sollen. Erfahrungsgemäß erscheinen die angeworbenen Personen nur in 80% der Fälle zu einem vereinbarten Termin beim Hersteller. Wir nehmen für eine Modellrechnung an, dass dies durch eine Binomialverteilung mit p=0.8 modelliert werden kann.
Es nützt der Agentur wenig, wenn sie allzu viele Testpersonen anwirbt, da sie vom Hersteller einen festen Betrag für eine feste Anzahl von Testpersonen erhält und nicht einfach mehr Personen zum Test geschickt werden dürfen als vereinbart.
Angenommen, die Agentur erhält für 10 Personen einen festen Betrag von 1500?, von denen sie je 80? an die angeworbenen Personen weitergibt, wenn diese den Gerätetest durchgeführt haben.
Wenn weniger Personen erscheinen, wird jeweils 250? pro fehlender Person vom Honorar abgezogen.
Falls mehr als 10 Personen erscheinen, muss die Agentur die 10 Testpersonen auslosen und an die übrigen einen Abfindungsbetrag von 40? auszahlen.
Bestimmen Sie die Anzahl der anzuwerbenden Personen, bei der der Erwartungswert des Ertrags für die Agentur am größten ist."

Wir haben gerade das Thema Binomialverteilung und diese Aufgabe steht unter der Überschrift "Optimierung mithilfe der Binomialverteilung". Ich weiß nur leider überhaupt nicht, wie ich von meinen beiden aufgestellten Funktionen auf die Binomialverteilung kommen soll und was die mit dem ganzen zu tun hat.

Meine Ideen:
Für max. 10 Personen:
1500-80*k-(10-k)*250
Für mehr als 10 Personen:
1500-800-(n-k)*40

Binomialansatz:
n=? ; p=0.8 ; k=?

14.09.2016, 15:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathefrager001
Meine Ideen:
Für max. 10 Personen:
1500-80*k-(10-k)*250

Richtig, falls k die Anzahl der wirklich kommenden Testpersonen ist.

Zitat:

Original von Mathefrager001
Für mehr als 10 Personen:
1500-800-(n-k)*40

Was soll denn hier n sein? Nein, der Gewinn ist in dem Fall hier

1500-800-(k-10)*40

Insgesamt haben wir demnach die Gewinnfunktion

$\begin{align*} G(k) = \begin{cases} 170k-1000 &\;\mbox{für}\;0\leq k\leq 10\\ -40k+1100 &\;\mbox{für}\;k>10\end{cases} \end{align*}$ .

Ist $\begin{align*} n \end{align*}$ die Anzahl eingeladender Testpersonen, dann ist $\begin{align*} X_n\sim B(n,0.8) \end{align*}$ die zufällige Anzahl wirklich erscheinender Testpersonen. Es ist nun die Aufgabe hier, den Erwartungswert

$\begin{align*} E(G(X_n)) = \sum_{k=0}^n G(k)\cdot \binom{n}{k} 0.8^k\cdot 0.2^{n-k} \end{align*}$

bezüglich $\begin{align*} n \end{align*}$ zu maximieren. Für die konkrete Ausführung dieser Optimierung sollte man dann allerdings besser rechentechnische Hilfe in Anspruch nehmen - von Hand wäre das doch etwas übel. Augenzwinkern

P.S.: Die Gewinnfunktion kann man auch kurz und kompakt als $\begin{align*} G(k)=170k-1000-210(k-10)_+ \end{align*}$ schreiben, dabei kennzeichnet $\begin{align*} x_+:=\max(x,0) \end{align*}$ den Positivteil einer reellen Zahl.

14.09.2016, 15:56

leoclid

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Jetzt hatte ich hier ewig lange mit Latex rumhantiert, und dann ist mir HAL 9000 zuvorgekommen.
Wichtig ist noch zu beachten, dass bei der Fallunterscheidung, die Anzahl der tatsächlich erscheinenden Personen gemeint ist. Willst du den Erwartungswert also für n=12 eingeladene Personen musst du für die Terme von k=0 bis k=10 in der von Hal beschriebenen Summe immer noch die erste Fallunterscheidung, also
Gewinn = 170k-1000 einsetzen.

Solltet ihr das in der Schule wirklich analytisch lösen?
Mir fällt trotz Mathe LK im Moment noch nicht mal ein geschlossener Ausdruck für:

$\begin{eqnarray*} \mu (n) = \sum\limits_{k=0}^{n} 0,8^{k}*0,2^{n-k}*\binom{n}{k} * (-1000+170*k) \end{eqnarray*}$

ein.

14.09.2016, 16:02

HAL 9000

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Klar ist, dass sowieso nur Anzahlen $\begin{align*} n\geq 10 \end{align*}$ Sinn machen. Für die kann man dann basierend auf meinem nachgeschobenen P.S. entwickelte, etwas rechenreduzierte Formel

$\begin{align*} E(G(X_n)) = E(170X_n-1000-210(X_n-10)_+) = 136n-1000-210\cdot 0.2^n\cdot \sum_{k=11}^n (k-10)\cdot \binom{n}{k}\cdot 4^k \end{align*}$

nutzen.

Zitat:

Original von leoclid
$\begin{eqnarray*} \mu (n) = \sum\limits_{k=0}^{n} 0,8^{k}*0,2^{n-k}*\binom{n}{k} * (-1000+170*k) \end{eqnarray*}$
ein.

Das ist $\begin{align*} 136n-1000 \end{align*}$ , s.o. Augenzwinkern

20.11.2022, 17:30

tw394

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Wie setze ich denn in die Formel ein? k ist ja 0.8n. Kann einer die Formel antworten wenn 13 Leute kommen

20.11.2022, 21:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von tw394
Wie setze ich denn in die Formel ein?

Welche Formel?

Zitat:

Original von tw394
k ist ja 0.8n.

Wovon redest du??? Jedenfalls nicht von dem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ oben im Thread: Da ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine Hilfsgröße, die dann als Summationsindex Verwendung findet. Dieses k hat nichts mit irgend einem 0.8n zu tun. unglücklich

Zitat:

Original von tw394
Kann einer die Formel antworten wenn 13 Leute kommen

In den obigen Betrachtungen ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Leute, die angeworben werden, und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Anzahl derjenigen, die dann auch tatsächlich kommen. Was genau willst du nun - drück dich mal so aus, dass man dich auch verstehen kann.

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