Einheiten der Gruppe (Z/nZ)

14.09.2016, 17:49	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheiten der Gruppe (Z/nZ) Meine Frage: 1) Bestimme die Einheitengruppe von Z/nZ 2) Wie viele Elemente hat sie? Meine Ideen: 1. habe ich bereits gelöst: (Z/nZ)* = {d+nZ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z/nZ; d und n teilerfremd} 2. möchte ich die Anzahl der Elemente herausfinden. Was ich dazu weiß: 0 ist nie Erzeuger von Z/nZ und 1 ist immer Erzeuger von Z/nZ. Somit kann es also maximal n-1 Elemente geben, dies ist der Fall wenn n eine Primzahl ist und mindestens einen Erzeuger, nämlich die 1. Weiter hatte ich überlegt n in Primfaktoren zu zerlegen: Sei u eine Einheit (hier u=1) und $\begin{eqnarray} p_{1} , p_{2} , ... , p_{k} \end{eqnarray}$ Primfaktoren; a1,a2, ... , ak $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N. Dann kann man n bis auf Isomorphie eindeutig in n = $\begin{eqnarray} u p_{1} * p_{2} * ... * p_{k} \end{eqnarray*}$ zerlegen. Ich habe mir verschiedene Beispiele angeschaut, kann aber kein Muster erkennen. Ich weiß nur, dass gilt 1<=d<=(n-1)
14.09.2016, 18:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast n falsch in Primfaktoren zerlegt, mit Isomorphie hat das auch nichts zu tun, und auf das u kannst Du verzichten. Die ultimative Antwort auf deine Frage gibt die Eulersche $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ -Funktion. Sehr schön nachzulesen bei Helmut Hasse "Vorlesungen über Zahlentheorie".
17.09.2016, 13:53	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Sorry dass ich jetzt erst antworte. Also für die eulersche phi- Funktion gilt ja (mit f=phi): f(n) = $\begin{eqnarray} f(p_{1} \end{eqnarray}$ ^(k1)).... $\begin{eqnarray} f(p_{r} \end{eqnarray}$ ^(kr)) = ( $\begin{eqnarray} (p_{1}) \end{eqnarray}$ ^(k1)(1-1/ $\begin{eqnarray} p_{1}) \end{eqnarray}$ )...* ( $\begin{eqnarray} (p_{r}) \end{eqnarray}$ ^(kr)(1-1/ $\begin{eqnarray} p_{r}) \end{eqnarray*}$ ) und da f(n) gerade die Anzahl der Elemente in meiner Einheitengruppe ist wäre das doch schon die Lösung oder?
17.09.2016, 14:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber aus guten Gründen sind die folgenden Schreibweisen besser: $\begin{eqnarray} n=\prod_{p\|n}p^{k_p}\Rightarrow \varphi(n)=\prod_{p\|n}p^{k_p-1}(p-1)=n\prod_{p\|n}(1-\frac 1 p) \end{eqnarray}$
17.09.2016, 14:37	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok schaue ich mir gleich nochmal an. Danke schön.

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