Logarithmus-Gleichung lösen

14.09.2016, 20:08

DerMaschbaustudent

Logarithmus-Gleichung lösen

Ich habe 2 Funktionen, bei denen ich den Schnittpunkt finden soll
f(x)=ln(x); g(x)=ln(x+8)-2

ich habe dieGleichgesetzt und versucht nach x aufzulösen.

ln(x)=ln(x+8)-2 /-ln(x+9)
ln(x)-ln(x+8)=-2 / e^ um den LogNat zu entfernen
x-(x+8)=e^-2
x-x-8=e^-2
8=e^-2

Wo liegt mein Fehler, laut Graf ist ein schnittpunkt bei cirka x=1.25 vorhanden.

14.09.2016, 20:12

10001000Nick1

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RE: Differenzialgleichung

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
ln(x)-ln(x+8)=-2 / e^ um den LogNat zu entfernen
x-(x+8)=e^-2

Da ist der Fehler: $\begin{eqnarray*} e^{a+b}\neq e^a+e^b \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mal den Titel geändert; mit einer Differentialgleichung hat das nun wirklich nichts zu tun. Augenzwinkern

14.09.2016, 20:23

DerMaschbaustudent

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hab mir jetzt überlegt dass per Log-Gesetz zu machen, dass ich zufälligerweise gefunden habe.

lg(a)-lg(b) = lg(a/b)

lg(x)-lg(x+8)=-2
lg(x/x+8)=-2 /e^
x/(x+8)=e^-2 /*(x+8)
x=(x+8)*e^-2 /-xe^-2
x-xe^-2= 8e^-2
x(1-e^-2)=8e^-2 /: (1-e^-2)
x=8e^-2/(1-e^-2)
$\begin{eqnarray*} x \approx 1.25 \end{eqnarray*}$

14.09.2016, 20:31

10001000Nick1

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Wenn du willst, kannst du das Ergebnis am Ende noch mit $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ erweitern; das sieht dann etwas schöner aus (finde ich zumindest Augenzwinkern

): $\begin{eqnarray*} x=\frac{8}{e^2-1} \end{eqnarray*}$
Aber das ist Geschmackssache.

Und wenn du dieses Logarithmengesetz nicht kennst (auch wenn das zum Standardwissen gehören sollte), geht es auch mit dem Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} e^{a+b}=e^a\cdot e^b \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lg(x)-\lg(x+8)=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{\lg(x)-\lg(x+8)}=e^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{\lg(x)}\cdot e^{-\lg(x+8)}=e^{-2} \end{eqnarray*}$
usw.

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