[DGL 2 Ordnung] Lösungsweg Richtig? |
| 15.09.2016, 11:59 | Kraids | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| [DGL 2 Ordnung] Lösungsweg Richtig? Ich habe Folgendes Problem bei dieser Aufgabe: y''+4y'+4y=2*x^(-2)*e^(-2x), y(1)=1, y'(1)=0 Lösung des Homogenen Anteils : »²+4»+4 = 0 ----> pq-Formel »1, »2 = -2 ---> Doppelt Reelle Nullstelle y1(x)= e^(-2x) ; y2(x) = x*e^(-2x) yh= C1*e^(-2x)+ C2*x*e^(-2x) ---------------------------------------------------------------------- Partikuläre Lösung: --> Störfunktion : 2*x^(-2) * e^(-2x) Ansatz: A(x)*x²*e^(Dx) für D = »1 =»2 yp= A(x)*x²*e^(-2x) y'p=2*A(x)*e^(-2x) -2A(x)*x*e^(-2x) y''p= -4*A(x)*e^(-2x) -2*A(x)*e^(-2x) +4*A(x)*x*e^(-2x) Aufgelöst nach A(x) bekomme ich den Wert A(x) = 1/(x²) raus Und hier bleibe ich dann Hängen, da ich die Konstanten C1 und C2 nicht richtig gelöst bekomme. Habe meine Ergebnisse mit Wolfram verglichen und da Spuckt er für die Partikuläre lösung den wert: -2*e^(-2x)*(log(x)+1) aus. Ich habe keine Ahnung wo mein Fehler liegt. Vielen Dank im Voraus |
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| 15.09.2016, 14:42 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest Dir die Ableitungen deiner Partikulärlösung noch einmal anschauen. Da stimmt einiges nicht. |
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| 16.09.2016, 07:55 | Kraids | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir fällt nicht ein wie ich die Gleichungen anders als mit der Produktregel ableiten sollte. Auf meinem Blatt sieht es wie folgt aus yp = Ax²*e^(-2x) y'p= 2Ax*e^(-2x) - 2Ax²*e^(-2x) y''p= 2A*e^(-2x) - 8Ax*e^(-2x)+ 4Ax²*e^(-2x) eingesetzt bekomme ich dann: 2A*e^(-2x) - 8Ax*e^(-2x)+ 4Ax²*e^(-2x) + 8Ax*e^(-2x) - 8Ax²*e^(-2x) + 4Ax²*e^(-2x) = 2x^(-2)*e^(-2x) --> 2A*e^(-2x) = 2x^(-2)*e^(-2x) --> 2A=2/x² --> A= 1/x² |
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| 16.09.2016, 10:29 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre A eine Konstante, dann wäre deine Ableitung richtig. In deinem ersten Posting hängt A aber von x ab. |
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| 16.09.2016, 11:00 | Kraids | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt , da habe ich geschlampt. mein lösungsansatz aus der Tabelle für die Störfunktion ist A(x) * x² * e^(-2x) Habe das gerade mal versucht indem ich A(x) auch ableite. Die Gleichung die ich ma ende bekomme bringt mich dann aber auch nicht weiter. Stimmt dieser Ansatz überhaupt? |
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| 16.09.2016, 11:19 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde bevorzugen. Dann kommt bei richtiger Rechnung Eine Gleichung raus, die etwas über aussagt. |
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| 16.09.2016, 11:33 | Kraids | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Steht der Ansatz nicht im Konflikt damit das ich eine Doppelt Reelle Nullstelle habe und die Gleich dem Exponenten der e-Funktion ist? |
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| 16.09.2016, 12:04 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso? Um die E-Funktion auf der rechten Seite zu erhalten, musst Du sie doch auch links haben. |
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| 16.09.2016, 13:19 | Kraids | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich arbeite bei den Ansätzen für die Lösung der Störfunktion mit einer Tabelle und in der heisst es: P(x)* e^(D*x) ==> Q(x)*e^(D*x) für D !=y1 & D !=y2 ==>Q(x)*x*e^(D*x) für D = y1 & D !=y2 ==>Q(x)*x²*e^(D*x) für D = y1 =y2 (hier steht y für lambda) Kann sein das du mit deinem Ansatz recht hast, jedoch verstehe ich ihn im Moment nicht da die Tabelle die wir gestellt bekommen einen anderen Ansatz vorsieht. Vielen Dank für deine Mühe 
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| 16.09.2016, 13:51 | Kraids | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oder kann man A(x) * x² *e^(-2x) als B(x) * e^(-2x) betrachten!? Im Endeffekt wird doch nur eine Funktion von x mit einer anderen Multipliziert. |
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| 16.09.2016, 14:08 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das meinte ich oben mit
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| 16.09.2016, 14:09 | Kraids | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gabe es gerade mal mit deinem Ansatz durchgerechnet. Das Ergebnis passt perfekt mir ist nur noch nicht ganz klar wie du auf den Ansatz kommst. |
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| 16.09.2016, 14:47 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der einzige Untetschied zu deinem Ansatz ist der, das ich von einer beliebigen, differenzierbaren Funktion ausgehe und Du von einer Polynomfunktion. Wenn ich diese aber mit x^2 multipliziere, erhalte ich doch wieder eine Polynomfunktion. Für das Ableiten ist der Ansatz mit einer Funktion aber leichter als mit dem Produkt zweier Funktionen. |
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| 16.09.2016, 14:58 | Kraids | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für deine Hilfe, ich meine es Verstanden zu haben 
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