Laplaceop. in Kugelkoordinaten

15.09.2016, 12:59

TheOpa

Laplaceop. in Kugelkoordinaten

Hallo,

ich wollte gerade eine Physikaufgabe lösen.

Dazu muss ich aber erst einmal den 3 Dimensionalen kartesischen Laplace in Kugelkoordinaten umschreiben.

Bevor ich anfange Nonsense auszurechnen, würde ich gerne vorher mal nachfragen ob mein Ansatz soweit stimmt.

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Kugelkoordinaten:

Skizze: Wikipedia: ....wiki/Spherical_coordinate_system#/media/File:3D_Spherical.svg

$\begin{eqnarray*} \text{Ortsvektor} \, := \vec r = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \sin{(\theta)}\cos{(\varphi)} \\ r \sin{(\theta)}\sin{(\varphi)} \\ r \sin{(\varphi)}\end{bmatrix} \,\,;\,\, \varphi \in [0,2\pi) \,;\,\, \theta \in [0,\pi) ,\, ;\,\, r \equiv |r| \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r =\sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \,;\,\, \theta = \arccos{\left( \frac{z}{r}\right)} = \arccos{\left( \frac{z}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}\right)} \,;\,\, \varphi = \arctan{\left( \frac{y}{x} \right)} \end{eqnarray*}$

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Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \partial_x := \frac{\partial}{\partial x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla : = \begin{bmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Laplace-Operator} = \vec \Delta := \vec \nabla^2 = \partial_x^2 +\partial_y^2 + \partial_z^2 = \partial_x \partial_x + \partial_y \partial_y + \partial_z \partial_z = \sum_{\alpha \in \{x,y,z\}} \partial_{\alpha} \partial_{\alpha} \end{eqnarray*}$

Kugelkoordinaten : $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \vec \Delta = \sum_{\alpha \in \{x,y,z\}} \left( \left( \partial_r \partial_{\alpha} r\right) \left( \partial_r \partial_{\alpha} r\right) + \left( \partial_{\theta} \partial_{\alpha} \theta \right)\left( \partial_{\theta} \partial_{\alpha} \theta \right) + \left( \partial_{\varphi} \partial_{\alpha} \varphi \right) \left( \partial_{\varphi} \partial_{\alpha} \varphi \right) \right) \end{eqnarray*}$

(Falls das stimmt, würde ich wohl anfangen jeden einzelnen Term auszurechnen... bis ich schließlich einen Ausdruck gefunden habe indem nur noch r, phi und theta vorkommt. Hoffe das wird nicht allzu schwer... Big Laugh

)

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Fragen:

1.) Stimmt das soweit?

2.) Falls es stimmt: Warum weiß ich das das so gilt?

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Vielen Dank Liebe Community!

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PS: Die Inspiration für den Ansatz habe ich aus einem Löviscach-Video.

PS2: Bin leider kein Mathematiker... xD.

15.09.2016, 15:48

HAL 9000

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Da ist wohl was beim Copy+Paste schiefgelaufen - richtig ist $\begin{align*} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \sin{(\theta)}\cos{(\varphi)} \\ r \sin{(\theta)}\sin{(\varphi)} \\ r ~{\color{red}\cos{(\theta)}}\end{bmatrix} \end{align*}$ .

Die Berechnung von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ ist auch nicht richtig, zumindest nicht in allen vier in Frage kommenden Quadranten:

Aus dem richtigen $\begin{align*} \tan(\varphi) = \frac{y}{x} \end{align*}$ folgt im zweiten und dritten Quadranten (d.h. für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ ) nicht $\begin{align*} \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \end{align*}$ . unglücklich

Ausweg: atan2

15.09.2016, 15:57

TheOpa

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da ist wohl was beim Copy+Paste schiefgelaufen - richtig ist $\begin{align*} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \sin{(\theta)}\cos{(\varphi)} \\ r \sin{(\theta)}\sin{(\varphi)} \\ r ~{\color{red}\cos{(\theta)}}\end{bmatrix} \end{align*}$ .

Richtig, ich habe mich hier vertippt. Tut mir Leid. unglücklich

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Berechnung von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ ist auch nicht richtig, zumindest nicht in allen vier in Frage kommenden Quadranten:

Aus dem richtigen $\begin{align*} \tan(\varphi) = \frac{y}{x} \end{align*}$ folgt im zweiten und dritten Quadranten (d.h. für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ ) nicht $\begin{align*} \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \end{align*}$ . unglücklich

Ausweg: (...)

Auch das ist streng genommen vollkommen richtig. Auch hierfür entschuldige ich mich. (Neige dazu gelegentlich mal ab und zu ein wenig unsauber zu rechnen...)

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Fragen:

1.) Stimmt folgendes?

Kugelkoordinaten : $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \vec \Delta = \sum_{\alpha \in \{x,y,z\}} \left( \left( \partial_r \partial_{\alpha} r\right) \left( \partial_r \partial_{\alpha} r\right) + \left( \partial_{\theta} \partial_{\alpha} \theta \right)\left( \partial_{\theta} \partial_{\alpha} \theta \right) + \left( \partial_{\varphi} \partial_{\alpha} \varphi \right) \left( \partial_{\varphi} \partial_{\alpha} \varphi \right) \right) \end{eqnarray*}$

2.) Falls es stimmt: Warum weiß ich das das so gilt?

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Danke, TheOpa

15.09.2016, 16:09

HAL 9000

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Sicher nicht: Zumal die eigentliche Funktion, auf die der links stehende Laplace-Operator angewandt werden soll, in deiner rechten Seite überhaupt keine Rolle mehr spielt. Erstaunt1

Die richtige Darstellung des Laplaceoperators in Kugelkoordinaten ist z.B. hier zu finden.

15.09.2016, 16:15

TheOpa

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:/

Schade...

Wie kann ich mir den Laplace-Operator den sonst herleiten...?

(Ich kann mir schlecht Zahlen/Fomeln/Fakten merken/auswendig lernen und würde mir den Operator gerne irgendwie selber aus den kartesischen Koordinaten "herleiten".) smile

15.09.2016, 16:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von TheOpa
(Ich kann mir schlecht Zahlen/Fomeln/Fakten merken/auswendig lernen und würde mir den Operator gerne irgendwie selber aus den kartesischen Koordinaten "herleiten".) smile

Wenn du soviel Zeit hast, das jedesmal wieder zu machen...

Sei $\begin{align*} g(x,y,z) = f(r,\theta,\varphi) \end{align*}$ , dann ist mit totaler Differentation

$\begin{align*} \frac{\dd g}{\dd x} = \frac{\partial f}{\partial r}\cdot \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \theta}\cdot \frac{\partial \theta}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \varphi}\cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x} \end{align*}$

usw. ähnlich für $\begin{align*} y,z \end{align*}$ . Die partiellen Ableitungen von $\begin{align*} r,\theta,\varphi \end{align*}$ nach $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ kann man der Inversen der Jacobi-Matrix $\begin{align*} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \end{align*}$ entnehmen, ist im verlinkten Wiki-Beitrag schon ganz gut skizziert. Ist das getan und eingesetzt, dann den Kram nochmal ableiten zu $\begin{align*} \frac{\dd^2 g}{\dd x^2} \end{align*}$ , und zum Schluss geeignet zusammenfassen.

15.09.2016, 17:14

TheOpa

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Kann man denn den Gradienten ansetzen

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla g : = \begin{bmatrix} \partial_x g \\ \partial_y g \\ \partial_z g \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann einfach den Laplace Operator berechnen indem man "deinen Ausdruck"

$\begin{align*} \partial_x g \equiv \frac{\dd g}{\dd x} = \frac{\partial f}{\partial r}\cdot \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \theta}\cdot \frac{\partial \theta}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \varphi}\cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x} \end{align*}$

in den Nabla Operator einsetz und dann einfach

$\begin{eqnarray*} \vec \Delta g = \left< \vec \nabla g \, , \, \vec \nabla g \right> \end{eqnarray*}$

das Skalarprodukt berechnet?

15.09.2016, 20:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von TheOpa
$\begin{eqnarray*} \vec \Delta g = \left< \vec \nabla g \, , \, \vec \nabla g \right> \end{eqnarray*}$

Da verwechselst du etwas. unglücklich

Was du da rechts aufgeschrieben hast, ist $\begin{align*} \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right) + \left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)^2 \end{align*}$ .

Der wirkliche Laplace-Operator ist aber

$\begin{align*} \vec \Delta g = \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial z^2} = \frac{\partial \partial g}{\partial x\partial x} + \frac{\partial \partial g}{\partial y\partial y} + \frac{\partial \partial g}{\partial z\partial z} \end{align*}$ ,

etwas vollkommen anderes. Allem Anschein nach hast du die auch gebräuchliche Symbolik $\begin{align*} \vec \Delta g = \vec\nabla \cdot \vec\nabla g \end{align*}$ vollkommen falsch gedeutet.

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