DGL lösen

15.09.2016, 19:09	marihoene	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen Meine Frage: Hallo! Leider verzweifle ich gerade total vor meinen Mathehausaufgaben :-( Kann mir jemand vielleicht helfen, folgende Differentialgleichungen zu lösen? a) f'(x)=0,5f(x); f(0)=1 b) f'(x)=-2f(x); f(0)=2 c) f'(x)=2(1-f(x)); f(0)=3 d) f'(x)=3-0,3f(x); f(0)=4 Ich war die letzten beiden Stunden nicht da und habe voll den Einstieg in die DGL verpasst, eigentlich komm ich immer super klar mit Mathe... Danke! Meine Ideen: Stimmt das so? In den Lösungen steht was Anderes! a) f'(x)=0,5f(x) --> y'=0,5y --> dy/dx = yx --> dy = yxdx --> 1/y dy = xdx --> ln(y) = 1/2*x^2 --> y = e^(0,5x^2)
15.09.2016, 19:48	marihoene	Auf diesen Beitrag antworten »
Verzeihung, ein Fehler ist passiert: a) f'(x)=0,5f(x) --> y'=0,5y --> dy/dx=0,5y --> dy=0,5ydx --> 1/ydy=0,5dx --> ln(y)=0,5x --> y=e^(0,5x)
15.09.2016, 19:57	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja - (fast) richtig. Du hast nur nicht an eine Integrationskonstante gedacht.
15.09.2016, 20:21	marihoene	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Danke. In b) wäre das schlecht, deswegen bin ich auch auf eine andere Lösung gekommen... kann mir jemand mit c) und d) weiterhelfen? Finde da keine Stammfunktion wegen der Differenz im Nenner: ........ 1/(1-y)dy = 2dx
15.09.2016, 20:25	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun - es steht doch bis auf das passende Vorzeichen die Ableitung des Nenners im Zähler. Also ...
15.09.2016, 20:31	marihoene	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm. Also das muss ja irgendwas ln-mäßiges sein. Kommt man da nur durch Substitution drauf oder gibt's da nen Trick oder so?
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15.09.2016, 20:34	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Den habe ich indirekt schon verraten. Steht die Ableitung des Nenners im Zähler ist eine Stammfunktion immer ln\|Nenner\|. In deinem Fall musst du deinen Bruch also nur noch mit -1 erweitern: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{1-y} \, \dd y = -\int \! \frac{-1}{1-y} \, \dd y = -\ln\|1-y\| \end{eqnarray}$
15.09.2016, 20:48	marihoene	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, okay. Danke! Das hilft schonmal weiter. Jetzt habe ich bloß noch ein anderes Problem: -ln\|1-y\| + c_1 = 2x + c_2 -ln\|1-y\| = 2x +c 1 / e^(ln\|1-y\|) = e^(2x) e^c e^c 1/e^(2x) = \|1-y\| --> wie kann ich den Betrag nach y auflösen? Sorry für die evtl dummen Fragen, mach wahrscheinlich besser morgen weiter :-/
15.09.2016, 20:57	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Der entfällt mit Anwendung der e-Funktion. Also: $\begin{eqnarray} ce^{-2x}=1-y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=ce^{-2x}+1 \end{eqnarray}$ Fertig.
15.09.2016, 21:25	marihoene	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE!!!! Jetzt beiß ich mich auch noch durch die letzte durch. Mannomann.... Tausend Dank für die Hilfe!!!
15.09.2016, 21:26	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne - wenn Probleme auftauchen oder du noch mal kontrollieren möchtest sag Bescheid. Ansonsten wünsche ich noch einen schönen Abend!

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