Folgt für f:R->R mit f(x+y)=f(x)+f(y) immer aus der Additivität die Homogenität (lineare Abb.)?

15.09.2016, 21:21

Sarah2015

Folgt für f:R->R mit f(x+y)=f(x)+f(y) immer aus der Additivität die Homogenität (lineare Abb.)?

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich scheine gerade einen Denkfehler zu haben und ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Folgende Aufgabe möchte ich lösen:
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine monotone oder eine stetige Funktion, welche
$\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear ist.

Meine Ideen:
Ich bin wie folgt vorgegangen, um die Homogenität zu zeigen:
Sei $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Es gilt
$\begin{eqnarray*} <br /> f(ax) = f(\sum_{i=1}^a x) = f((\sum_{i=1}^a x) + x) = f(\sum_{i=1}^a x) + f(x) =...= f(x)+...+f(x) (a-mal) = af(x).<br /> \end{eqnarray*}$

Aber wo benutze ich dabei die Monotonie oder die Stetigkeit?

Danke & Gruß

15.09.2016, 21:31

Sarah2015

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RE: Folgt für f:R->R mit f(x+y)=f(x)+f(y) immer aus der Additivität die Homogenität (lineare Abb.)?
klar, habe es nur für natürliche Zahlen gezeigt. Wird dann später bei reelen Zahlen gebraucht werden...

15.09.2016, 21:33

10001000Nick1

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RE: Folgt für f:R->R mit f(x+y)=f(x)+f(y) immer aus der Additivität die Homogenität (lineare Abb.)?
Was verstehst du denn unter der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^a x \end{eqnarray*}$ für beliebiges reelles $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? Dieser Ausdruck macht nur für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ Sinn. (Edit: Ich sehe gerade, dass du das selbst noch korrigiert hast.)

In diesem Fall zeigt man $\begin{eqnarray*} f(ax)=af(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so, wie du es aufgeschrieben hast. (Schöner wäre es, wenn du das mit einer sauberen Induktion machst.)

Danach zeigst du, dass $\begin{eqnarray*} f(ax)=af(x) \end{eqnarray*}$ sogar für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt.

Anschließend kannst du zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f(x)=cx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt.

Bis hierhin haben wir noch keine Stetigkeit oder Monotonie benutzt; obiges gilt also auch, falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine dieser Voraussetzungen erfüllt.

Jetzt musst du dir noch überlegen, wie du mit einer dieser beiden Eigenschaften auf $\begin{eqnarray*} f(x)=cx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ schließen kannst.

Übrigens ist das eine der sogenannten Cauchy'
schen Funktionalgleichungen.

15.09.2016, 21:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sarah2015
Sei $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Es gilt
$\begin{eqnarray*} f(ax) = f(\sum_{i=1}^a x) \end{eqnarray*}$

Preisfrage: Was bedeutet diese Summe, wo du als oberen Index $\begin{align*} a \end{align*}$ hingeschrieben hast, wenn $\begin{align*} a \end{align*}$ keine nichtnegative ganze Zahl ist??? geschockt

Ansonsten: Cauchysche Funktionalgleichung

EDIT: Das Wikilink-Raussuchen hat doch etwas zu lange gedauert. Augenzwinkern

15.09.2016, 21:38

Sarah2015

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Danke!

Ich versuche es jetzt mal. Melde mich evtl. nochmal.

15.09.2016, 22:21

Sarah2015

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RE: Folgt für f:R->R mit f(x+y)=f(x)+f(y) immer aus der Additivität die Homogenität (lineare Abb.)?

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Anschließend kannst du zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f(x)=cx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt.

Wieso gehst du hier zu $\begin{eqnarray*} f(x)=cx \end{eqnarray*}$ über? Ich dachte, dass ich $\begin{eqnarray*} f(cx)=cf(x) \end{eqnarray*}$ zeigen muss unglücklich

15.09.2016, 22:31

10001000Nick1

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Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist u.a. definiert durch die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(ax)=af(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Ich meine etwas anderes: Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} f(x)=cx \end{eqnarray*}$ hat (mit einem festen $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ), dann ist diese Funktion linear. (Das kannst du ganz leicht überprüfen, indem du die definierenden Eigenschaften einer linearen Funktion nachrechnest.) Also z.B. so etwas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=-5x \end{eqnarray*}$ .
Deswegen kannst du zeigen, dass es ein solches $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gibt, und weißt dann, dass die Funktion linear ist.

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