Pareto Verteilung, ML-Schätzer

16.09.2016, 11:33	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Pareto Verteilung, ML-Schätzer Die Pareto-Verteilung $\begin{eqnarray} X \sim Par(k,x_0) \end{eqnarray}$ ist gegeben durch die Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} F(x)= 1- (\frac{x_0}{x})^k , x > x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(x)=0, x \le x_0 \end{eqnarray}$ Finde den ML-Schätze für den Parameter $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ (bei bekannten $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ) der Pareto Verteilung. Hallo $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{k x_0^k}{x^{k+1}}, x> x_0 \end{eqnarray}$ und 0 sonst $\begin{eqnarray} L_X (k,x_0)=\prod_{i=1}^n f(x_i)=\prod_{i=1}^n k \frac{x_0^k}{x_i^{k+1}} = k^n x_0^{nk} \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i^{k+1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_X (k,x_0)= n \ln(k) + nk\ln(x_0)- (k+1) \sum_{i=1}^n \ln(x_i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial k} l_x= \frac{n}{k} + n \ln(x_0) - \sum_{i=1}^n \ln (x_i)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k= \frac{n}{\sum_{i=1}^n (\ln(x_i) - \ln(x_0))} \end{eqnarray}$ Nun muss ich doch die Hessematrix bestimmen: $\begin{eqnarray} H_f= \begin{bmatrix}<br /> - \frac{n}{k^2} & - \frac{nk}{x_0^2} \\<br /> \frac{n}{x_0} &\frac{n}{x_0} <br /> \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \frac{n}{k^2} <0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \det(H_f)= \frac{- n^2 x_0 + n^2 k^3}{k^2 x_0^3} \end{eqnarray}$ Jetzt müsste ich doch das obig berechnete k(und das $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ was laut Angabe schon gegeben is) einsetzten und schauen ob die Determinante größer als 0 ist. $\begin{eqnarray} \det(H_f)>0 \iff \frac{k^3 - x_0}{x_0} >0 \end{eqnarray}$ ist. Für $\begin{eqnarray} x_0>0: ( \frac{n}{\sum_{i=1}^n (\ln(x_i) - \ln(x_0))})^3> 2x_0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x_0<0: ( \frac{n}{\sum_{i=1}^n (\ln(x_i) - \ln(x_0))})^3 < 2x_0 \end{eqnarray}$ ist k ein Maximum. Schaut mir sinnlos aus das weiter umzuformen.
16.09.2016, 12:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pareto Verteilung, ML-Schätzer Irgendwas hast du da in den falschen Hals gekriegt: Du willst doch nur den einen Parameter $\begin{align} k \end{align}$ schätzen, während $\begin{align} x_0 \end{align}$ konstant (womöglich vorgegeben?) ist. Deine Hessematrix ist damit nur von der Dimension $\begin{align} 1\times 1 \end{align}$ , sprich: die zweite Ableitung nach $\begin{align} k \end{align}$ , mehr nicht!!! Und die ist hier einfach $\begin{align} \frac{\partial^2 L}{\partial k^2} = -\frac{n}{k^2} < 0 \end{align}$ , also Maximum (wie gewünscht). Etwas vollkommen anderes wäre es, wenn du beide Parameter $\begin{align} x_0,k \end{align}$ schätzen wolltest... EDIT: Ich korrigiere mich - "vollkommen anders" ist eine Fehleinschätzung.
16.09.2016, 14:27	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank, ich hab das wirklich falsch verstanden! LG, MaGi

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