Sigma-Vereinigungsstabilität

16.09.2016, 15:18

PhillyMathe

Sigma-Vereinigungsstabilität

Hi, ich verstehe nicht so ganz wie ich mit den Mächtigkeiten bei dieser Aufgabe umgehen soll und habe leider auch überhaupt keine Idee, wie ich vorgehen soll.

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Meine Ideen :

Eine Teilmenge A des $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist nur dann < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , falls A echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist. Bringt mich das weiter?

Des Weiteren ist mir intuitiv einleuchtend, warum Skript A U-Stabil sein muss. Allerdings kann ich das auch nicht formalisieren. Und, dass Skript nicht Sigma-U-Stabil ist, würde ich so begründen, da Entweder A oder A^C nicht unendlich ist und Sigma-U-Stabilität nur für abzählbare Vereinigungen gilt.
Allerdings habe ich auch hier Probleme mit der Formalisierung.

Liebe Grüße Phil

16.09.2016, 15:32

magic_hero

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RE: Sigma-Vereinigungsstabilität

Zitat:

Original von PhillyMathe
Eine Teilmenge A des $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist nur dann < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , falls A echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist. Bringt mich das weiter?

Nein, das ist sogar falsch. Es gilt nämlich auch $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist keine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . (Übrigens stimmt auch die Formulierung nicht, eine Teilmenge sei kleiner als unendlich. Sondern: Ihre Mächtigkeit ist kleiner als unendlich.)

Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ enthält alle Teilmengen der natürlichen Zahlen, die entweder selbst endlich sind oder deren Komplement endlich ist. Überlege dir vielleicht noch ein paar Beispiele, welche Mengentatsächlich in $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Zitat:

Original von PhillyMathe
Des Weiteren ist mir intuitiv einleuchtend, warum Skript A U-Stabil sein muss. Allerdings kann ich das auch nicht formalisieren.

Schreibe die Definition von $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ -stabil auf und beweise, dass das in diesem Fall tatsächlich gilt.

Zitat:

Original von PhillyMathe
Und, dass Skript nicht Sigma-U-Stabil ist, ist für mich auch nicht einleuchtend, da ich ja durch |A| , |A^C| < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ annehme, dass die Mengen |A|, |A^C| endlich sind.

Nein, siehe oben. Du hast die Definition der Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ nicht richtig verstanden. Beweisen kannst du das aber genauso wie die $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ -Stabilität.

16.09.2016, 15:47

PhillyMathe

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RE: Sigma-Vereinigungsstabilität
Erstmals vielen Dank für deine Antwort.

Zitat:

Was ich damit sagen wollte ist dass die Mächtigkeit der Menge A ( nicht Skript A), nur dann unendlich ist wenn A $\begin{eqnarray*} = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Lieg ich damit richtig?

16.09.2016, 15:53

magic_hero

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RE: Sigma-Vereinigungsstabilität

Zitat:

Original von PhillyMathe
Was ich damit sagen wollte ist dass die Mächtigkeit der Menge A ( nicht Skript A), nur dann unendlich ist wenn A $\begin{eqnarray*} = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Lieg ich damit richtig?

Auch das ist nicht richtig. Denk mal an die Menge der geraden Zahlen...

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