Einheitengruppe Potenzreihenring

17.09.2016, 14:12	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitengruppe Potenzreihenring Meine Frage: Sei R ein Integritätsring. Bestimme die Einheitengruppe des Potenzreihenrings R[[X]]. Meine Ideen: Ich habe bereits gezeigt, dass die Einheitengruppe des Polynomrings R[X] gleich der von R ist. Dies gilt aber nicht für den Potenzreihenring. Denn bespielsweise (1-X) oder (1+X) ist im Potenzreihenring über den rationalen Zahlen Q oder den reellen Zahlen R eine Einheit. Mir fehlt einfach der Ansatz. Schon mal Danke.
17.09.2016, 14:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper und $\begin{eqnarray} K [[ T ]] \end{eqnarray}$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen. Dann ist eine formale Potenzreihe $\begin{eqnarray} F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n} \end{eqnarray}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term $\begin{eqnarray} a_0\ne 0 \end{eqnarray}$ ist. (Überlege, warum das so ist und berechne die inverse Potenzreihe). Bei Integritätsringen kann man zum Quotientenkörper übergehen, man muss sich dann nur noch überlegen, welche inversen Potenzreihen ganze Koeffizienten haben.
17.09.2016, 15:00	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_0\ne 0 \end{eqnarray}$ muss gelten da das Inverse von $\begin{eqnarray} F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n} \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} G={\sum }_{n=0}^{\infty }b_{n}T^{n} \end{eqnarray}$ ist. Somit muss gelten $\begin{eqnarray} a_{0}b_{0} \end{eqnarray}$ =1. Daraus folgt $\begin{eqnarray} a_{0}\ne 0 und b_{0}\ne 0 \end{eqnarray}$ . Weiter gilt $\begin{eqnarray} a_{0}b_{1} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} a_{1}b_{0} \end{eqnarray}$ =0 daraus folgt $\begin{eqnarray} a_{0}b_{1} \end{eqnarray}$ = - $\begin{eqnarray} a_{1}b_{0} \end{eqnarray*}$ usw. man kann das Inverse somit theoretisch rekursiv bestimmen. Dies geht praktisch jedoch nicht, da die Summe ja bis unendlich geht. Den Quotientenkörper hatten wir bisher noch nicht, aber ich habe ihn mir eben mal angeschaut. Es geht doch darum, dass der Quotientenkörper die Teilmenge des Integritätsrings ist, s.d. alle Elemente bis auf die 0 ein multiplikatives Inverses besitzen. Und das ist ja genau das was ich suche. Allerdings kann ich sonst noch nichts mit der Definition anfangen.
17.09.2016, 15:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die inverse Potenzreihe nicht nur "theoretisch" bestimmen, mit dem Cauchyprodukt kann man sie genau wie bei Polynomen auch "praktisch" bestimmen. Das ergibt für jeden der unendlich vielen Koeffizienten eine passende Formel, genauer und vollständiger kann man eine Potenzreihe nicht angeben. Quotientenkörper kann man sich so vorstellen, wie im Beispiel der ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , das ist ein Integritätsring. Der zugehörige Quotientenkörper sind die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , also die Brüche $\begin{eqnarray} \frac a b; a,b\in \mathbb Z, b\ne 0 \end{eqnarray}$ mit der üblichen Addition und Multiplikation und der Kürzungsregel $\begin{eqnarray} \frac a b =\frac {ac}{bc}; c\in \mathbb Z, c\ne 0 \end{eqnarray}$ .
17.09.2016, 18:24	cRaZyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekomme es irgendwie noch nicht so richtig hin. Seien A, B, C Reihen. Es soll gelten AB=C mit C=1 Also gilt: AB = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}X^k \sum\limits_{k=0}^{n} b_{k}X^k \end{eqnarray}$ =1 Und nach Cauchy: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k}X^{n} \end{eqnarray}$ Allerdings kommt mir das etwas komisch vor, da mein n ja unendlich ist. Deshalb habe ich es hiermit probiert: (an)(bn)=(a0b0)+(a0b1+a1b0)+(a0b2+a1b1+a2b0)+… Dazu habe ich $\begin{eqnarray} b_{i} \end{eqnarray}$ für i=0,1,2 in Abhängigkeit der $\begin{eqnarray} a_{i} \end{eqnarray}$ bestimmt, aber ich konnte keine Gesetzmäßigkeit feststellen.
17.09.2016, 19:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} AB=\sum_{k=0}^{\infty}a_kX^k\sum_{k=0}^{\infty}b_kX^k=\sum_{k=0}^{\infty}c_kX^k=C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_k=\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i} \end{eqnarray}$ Die Koeffizienten der Produktreihe $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} c_0=a_0b_0, c_1=a_0b_1+a_1b_0, c_2=a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0, ... \end{eqnarray}$ , und das sind endliche Summen. $\begin{eqnarray} a_0 , b_0 \end{eqnarray}$ der Potenzreihe $\begin{eqnarray} C=1 \end{eqnarray}$ sind Einheiten, $\begin{eqnarray} b_1=\frac {-a_1b_0}{a_0} \end{eqnarray}$ ist ganz, $\begin{eqnarray} b_2=... \end{eqnarray}$ ist ganz, ... Jetzt mache ich "unvollständige Induktion" und schließe daraus : alle $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ sind ganz, und du darfst das ordentlich durch vollständige Induktion beweisen. Scheint mir schon klar, weil jedes $\begin{eqnarray} c_k \end{eqnarray}$ mit dem Summanden $\begin{eqnarray} a_0 b_k \end{eqnarray}$ anfängt, der Rest kommt mit Minus auf die andere Seite und das wird durch die Einheit $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ dividiert. Folgerung: Was im Potenzreihenring des Quotientenkörpers invertierbar ist ( $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray*}$ muss Einheit sein) und Koeffizienten im Integritätsbereich hat, ist schon im Potenzreihenring des Integritätsbereichs invertierbar.
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