Radizieren von komplexen Zahlen

18.09.2016, 09:31	PHBU	Auf diesen Beitrag antworten »
Radizieren von komplexen Zahlen Hallo Forumnutzer, es gilt ja folgendes für das Potenzieren komplexer Zahlen: $\begin{eqnarray} z ^ n = \|z\| ^ n \cdot (cos ( n \varphi ) + sin ( n \varphi ) i ) \end{eqnarray}$ Gilt dann nach den Potentgesetzen nicht auch: $\begin{eqnarray} \sqrt{z} = z ^ \frac{1}{2} = \|z\| ^ \frac{1}{2} \cdot (cos ( \frac{1}{2} \varphi ) + sin ( \frac{1}{2} \varphi ) i ) \end{eqnarray}$ Oder muss n immer größer 1 sein? Danke im Voraus! Mit freundlichen Grüßen PHBU
18.09.2016, 10:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt genau so, allerdings ist das nur eine Wurzel aus $\begin{eqnarray} z\ne 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi \in [0,2\pi) \end{eqnarray}$ . Die andere Wurzel ist $\begin{eqnarray} -\sqrt z=\|z\|^{\frac 1 2}(cos(\frac 1 2 \varphi+\pi)+sin(\frac 1 2 \varphi+\pi)i) \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} \sqrt 0=0 \end{eqnarray}$
18.09.2016, 11:06	PHBU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön Hallo Elvis, stimmt, klar... Ergebnis kann auch negativ sein... wie peinlich. Super! Danke Dir! Hat mir sehr geholfen!
18.09.2016, 12:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nicht ganz so peinlich, wie es auf den ersten Blick aussieht. Die Wurzel aus einer nichtnegativen reellen Zahl ist positiv und negativ, weil die reellen Zahlen einen angeordneten Körper bilden. Die komplexen Zahlen sind kein angeordneter Körper, man kann also nicht von positiven und negativen komplexen Zahlen sprechen. Aber: nach dem Fundamentalsatz der klassischen Algebra hat jedes komplexe Polynom vom Grad n genau n Wurzeln (mit Vielfachheit gerechnet). Also muss das komplexe Polynom $\begin{eqnarray} x²-z \end{eqnarray}$ genau die beiden Wurzeln $\begin{eqnarray} \pm \sqrt z \end{eqnarray}$ haben.

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