Bessere Vorstellbarkeit der komplexer Funktionen

18.09.2016, 11:49

Lambda-omega-Fuchs

Bessere Vorstellbarkeit der komplexer Funktionen

Meine Frage:
In wie vielen Dimensionen muß man denken, in 3 oder 4, wenn man sich den komplexen Zahlenraum, komplexe Funktionen vorstellen können will? Warum muß man sich die Lösungen von komplexen Aufgabenstellungen als Körper vorstellen? Mir ist auch eigentlich noch nicht klar, wie exp(i*2pi) = 1 sein kann?

Meine Ideen:
Ich habe mich mit komplexer Mathe beschäftigt, kann im reellen integrieren,
verstehe auch theoretisch diese Farbgebilde von Rot bis violett, weiß aber dann doch nicht wie ich mir die Lösung für die Funktion im Raum vorstellen kann. Wie muß ich denken, damit ich die Darstellung von einschlägigen komplexen Funktionen, die teilweise in den Vorlesungsscripten vorkommen, nachvöllziehen kann.

18.09.2016, 14:28

mYthos

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In der Schulmathematik wird man nicht allzusehr in die Tiefe gehen und vor allem versuchen, - anstatt abstrakt - eher anschaulich zu bleiben.
Geometrisch stellt die komplexe Zahlenebene mit Zahlenpaar-, trigonometrischer, Polar- und vektorieller Darstellung eine gute und anschauliche Entsprechung dar.
Komplexe Zahlen lassen sich axiomatisch in einem Zahlenkörper als Zahlenpaare (a; b) mit zwei darin erklärten Verknüpfungen strukturieren:

$\begin{eqnarray*} (a_1, b_1) + (a_2, b_2) = \big( (a_1+a_2), (b_1+b_2) \big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a_1, b_1) * (a_2, b_2) = \big( (a_1a_2-b_1b_2), (a_1b_2+a_2b_1) \big) \end{eqnarray*}$

Reelle Zahlen (a) sind durch (a, 0), imaginäre (bi) durch (0, b) symbolisiert.
Die imaginäre Einheit (i) stellt das Zahlenpaar (0, 1) dar.
Somit genügt bereits die 2-dimensionale Anschauung (komplexe Zahlenebene), um deine erste Frage zu beantworten.

Ein wichtiges Bindeglied zur Analysis (und zu den Potenzgesetzen der Algebra) stellt die Euler'sche Relation dar:

$\begin{eqnarray*} e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi ; \ \varphi = \text{ Polarwinkel, Winkel des komplexen Zeigers zur reellen Achse} \end{eqnarray*}$

Durch die Addition der $\begin{eqnarray*} cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ - und der $\begin{eqnarray*} i sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ - Reihe ergibt sich die $\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} \end{eqnarray*}$ - Reihe.

Damit ist auch deine zweite Frage beantwortet, wenn du nunmehr $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot 2\pi} \end{eqnarray*}$ auf diese Weise berechnest.

mY+

18.09.2016, 14:47

Dzindo

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RE: bessere Vorstellbarkeit der komplexer Funktionen
Wenn du dir 2D diagramm aufzeichnest, musst du wissen dass die X achse Reale nummer darstellt und die Y achse die Imaginare nummern, genau so auch dass die X den cosinus entspricht und die Y achse sinus.
Da du cos(2pi) hast, und 2pi ist ein winkel von 360° (kreis), kommst du wieder in "start" position auf 2D, weil 306°=0°, und cos von 0 oder 360 ist gleich 1.
bei sinus beobachtest du die vertikale y achse, sinus ist erst 1 wenn er einen winkel von 90° hat, oder -1 mit nem winkel von 270°=-90° und von dacher ergibt sin(2pi) eine 0

e^i*(2pi)= cos(2pi) + i*sin(2pi) = 1 + 0 = 1

e^i*(pi)= cos(pi) + i*sin(pi) = -1 + 0 = -1

e^i*(pi/2)= cos(pi/2) +i*sin(pi/2) = 0 + i*1 = i

zbs: pi/6 = 30° und es wurde so gehen:

x=e^i*(pi/6)= cos(pi/6) + i*sin(pi/6) = sqrt(3)/2 +i*1/2

Re{x}=sqrt(3)/2 & Im{x}=1/2

TIP:
cos(-x) = cos(x) & sin(-x) = -sin(x)

18.09.2016, 15:59

willyengland

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RE: bessere Vorstellbarkeit der komplexer Funktionen

Zitat:

Mir ist auch eigentlich noch nicht klar, wie exp(i*2pi) = 1 sein kann?

Diese Geschichte kommt aus den Potenzreihen.
Euler hat damals festgestellt, dass sich die e-Funktion und die cos/sin-Terme in sehr ähnliche Potenzreihen (Taylorreihen) entwickeln lassen.
Wenn man diese Reihen nun vergleicht, ergeben sich die sog. Eulerschen Identitäten.
So ist man darauf gekommen.
Anschaulich kann man sich das leider nicht klarmachen.

18.09.2016, 18:13

mYthos

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Näheres bei https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

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