Integralvergleichskriterium

18.09.2016, 15:47

cmplx96

Integralvergleichskriterium

Hallo zusammen,

ich habe ein Frage zu dem Integralvergleichskriterium.
Gegeben ist eine Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{n}} \end{eqnarray*}$
Die Aufgabe lautet: "Zeigen Sie Konvergenz/Divergenz der Reihe mit dem Integralvergleichskriterium. Zeigen Sie zuvor die Vorraussetzung."

Das Kriterium ist im Skript wie folgt definiert:
Sei f eine auf $\begin{eqnarray*} [m-1, \infty) \end{eqnarray*}$ monoton fallende Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \forall x \in [m, \infty) \end{eqnarray*}$ , dann ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=m}^{\infty} f(n) \end{eqnarray*}$ genau dann konvergent, wenn $\begin{eqnarray*} \int_{m}^{\infty} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ existiert.
Es gilt bei Konvergenz:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=m+1}^{\infty} f(n) \leq \int_{m}^{\infty} \! f(x) \, dx \leq \sum\limits_{n=m}^{\infty} f(n) \leq \int_{m-1}^{\infty} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage: was genau ist die Vorraussetzung, wie muss ich vorgehen?
Reicht es das Integral zu berechnen oder muss ich noch zeigen, dass die Funktion f(x) monoton fallend ist?

Vielen Dank schonmal!

18.09.2016, 17:52

Helferlein

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RE: Integralvergleichskriterium
Ein Satz besteht immer aus Vorraussetzung und Folgerung. Um ihn anwenden zu können müssen die Vorraussetzungen also erfüllt sein und das ist (selbstverständlich) zu zeigen, sofern es nicht offensichtlich ist.
Wenn es z.B. um den Satz gehen würde, dass jede Zahl der Form 4n+2 mit $\begin{align*} n\in \mathbb{N} \end{align*}$ gerade ist, dann kannst Du dies nicht auf die Zahlen 4 oder 5 anwenden, da sie nicht die gewünschte Form 4n+2 haben.

Zitat:

Original von cmplx96
Die Aufgabe lautet: "Zeigen Sie Konvergenz/Divergenz der Reihe mit dem Integralvergleichskriterium. Zeigen Sie zuvor die Vorraussetzung."

Beantwortet das deine Frage, ob Du die Voraussetzungen zeigen musst? Augenzwinkern

18.09.2016, 18:56

cmplx96

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Vielen Dank für die Antwort!
Also nur um sicher zu gehen.
Wenn ich zeige, dass die Ableitung der Funktion für den Bereich [1, unendlich) größer Null ist (Monotonie) reicht das?

18.09.2016, 19:39

Helferlein

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Bei differenzierbaren Funktionen reicht das, ja. Bedenke aber noch die zweite Bedingung $\begin{align*} f(x) \geq 0 \end{align*}$ , auch wenn die ein Selbstgänger ist.

18.09.2016, 19:48

10001000Nick1

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Die Ableitung muss kleiner (oder gleich) Null sein bei monoton fallend, nicht größer. Augenzwinkern

18.09.2016, 20:12

cmplx96

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Oha, da habe ich mich vertan, das weiß ich eigentlich Big Laugh

Alles klar, danke für die Antworten!

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