Maßtheorie, Schritte unklar

18.09.2016, 21:02	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Maßtheorie, Schritte unklar Hallo zusammen, ich habe Probleme mit der Musterlösung einer Klausuraufgabe. Es sei $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \end{eqnarray}$ ein Maßraum. Zeigen Sie: Aus $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j) < \infty \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \mu(\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}A_k)=0 \end{eqnarray}$ Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ stetig von oben ist. Musterlösung: Definiere $\begin{eqnarray} B_n := \cup_{k=n}^{\infty}A_k, n \geq 1 \end{eqnarray}$ . Es gilt auf Grund der Sigma-Subadditivität $\begin{eqnarray} \mu(B_n) \leq \sum_{k=n}^{\infty} \mu(A_k) \to 0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j)<\infty \end{eqnarray}$ vorausgesetzt ist. Desweiteren ist die Folge $\begin{eqnarray} (B_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ absteigend. Daraus folgt wegen $\begin{eqnarray} \mu(B_1)<\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu(\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}A_k)\overset{1}{=}\mu(\cap_{n=1}^{\infty}B_n)\overset{2}{=}\mu(\lim_{n\to \infty}\cap_{n=1}^{k}B_n)\overset{3}{=}\mu(\lim_{k \to \infty}B_k)\overset{4}{=}\lim_{k \to \infty}\mu(B_k)\overset{5}{=}0 \end{eqnarray}$ Ich verstehe das 3. und das 4. = nicht. Warum verschwindet der Schnitt? Wo wird hier die Stetigkeit von oben ausgenutzt. Und wer erlaubt mir, den Limes aus dem Maß rauszuziehen. Welcher Satz kommt hier ins Spiel, monotone Konvergenz, dominierende Konvergenz? Ich danke euch vielmals im Voraus. Viele Grüße.
18.09.2016, 21:41	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine erste Frage hat noch nichts mit Eigenschaften von Maßen o.Ä zu tun, sondern nur mit Eigenschaften konvergenter Reihen: Die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j) \end{eqnarray}$ konvergiert nach Voraussetzung, also gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{j=n}^{\infty}\mu(A_j)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j)-\sum_{j=1}^{n-1}\mu(A_j) \end{eqnarray}$ Jetzt berechne davon den Grenzwert für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ . Zu dem dritten Gleichheitszeichen: Die Folge $\begin{eqnarray} (B_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ ist absteigend, d.h. $\begin{eqnarray} B_1\supseteq B_2\supseteq B_3\supseteq ... \end{eqnarray}$ . Was folgt daraus für die Schnittmenge $\begin{eqnarray} \bigcap_{n=1}^k B_n \end{eqnarray}$ ? Das vierte Gleichheitszeichen folgt gerade aus der Stetigkeit des Maßes von oben.
18.09.2016, 21:48	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow perfekt erklärt. Danke dir vielmals

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