Polynomzerlegung mit Hilfe komplexer Linearfaktoren

19.09.2016, 18:38

Ichkanngarnichts

Polynomzerlegung mit Hilfe komplexer Linearfaktoren

Hallo Leute,
folgende Aufgabe ist gegeben:

Zerlegen Sie das Polynom $\begin{eqnarray*} x^{6}+1<br /> \end{eqnarray*}$ soweit es geht in reelle Faktoren!
Hinweis: Zerlegen Sie das Polynom zuerst in komplexe Linearfaktoren und multiplizieren
Sie dann die Faktoren, die zu konjugiert komplexen Nullstellen gehören, aus.

Ich weiß nicht wie ich ein Polynom in komplexe Linearfaktoren zerlegen kann.....

Dennoch habe einen Rechenansatz gefunden mit dem ich wohl zum richtigen Ergebnis gelange:

Ich stelle einfach eine Gleichung auf:

$\begin{eqnarray*} x^{6}+1 = 0 => x^{6}=-1 =>x=\sqrt[6]{-1} \end{eqnarray*}$

Anschließend lassen sich die 6 verschiedenen Ergebnisse als Linearfaktoren darstellen und ich kann die komplex konjugierten Nullstellen ausmultiplizieren....ist es das was von mir in der Aufgabe verlangt wird ? Oder gibt es eine andere Möglichkeit so etwas zu lösen ?

Liebe Grüße

19.09.2016, 19:24

mYthos

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Ja, so ist dein skizzierter Lösungsansatz durchaus gangbar.
---
Man kann auch mittels einer binomischen Formel eine erste (einfache) Zerlegung vornehmen.

Edit:
Dann hat man allerdings das Problem, das verbleibende Polynom 4. Grades auf (Ir)reduzibilität zu untersuchen.
Der Vorschlag der Zelegung in Linearfaktoren ist besser. Du musst dann nur noch die "richtigen" miteinander multiplizieren!

mY+

19.09.2016, 21:31

HAL 9000

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RE: Polynomzerlegung mit Hilfe komplexer Linearfaktoren

Zitat:

Original von Ichkanngarnichts
Hinweis: Zerlegen Sie das Polynom zuerst in komplexe Linearfaktoren und multiplizieren
Sie dann die Faktoren, die zu konjugiert komplexen Nullstellen gehören, aus.

Der vorgeschlagene Weg ist sicher der geradlinigste - aber andere Möglichkeiten gibt es immer, z.B. "rein reelle" wie

$\begin{align*} x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1) = (x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2) = (x^2+1)\left((x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2\right) = \ldots \end{align*}$ .

20.09.2016, 09:39

willyengland

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Könnte jemand mir erklären, wie man diese Aufgabe löst?
Wie kommt man auf 6 verschiedene Lösungen?

$\begin{eqnarray*} x^6=-1 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x^3=\pm \sqrt{-1}=\pm i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3=+i \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x=-i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3=-i \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x=+i \end{eqnarray*}$

Soweit komme ich.

20.09.2016, 09:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
Wie kommt man auf 6 verschiedene Lösungen?

Na ein wenig Grundlagen in komplexen Zahlen braucht es schon...

Es geht hier um alle sechs komplexen Lösungen von $\begin{align*} x^6 = -1 = e^{\pi i} \end{align*}$ , das sind

$\begin{align*} x_k = e^{\frac{\pi+2k\pi}{6}i} = e^{(2k+1)\frac{\pi}{6}i} = \cos\left((2k+1)\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left((2k+1)\frac{\pi}{6}\right) \end{align*}$ für $\begin{align*} i=0,1,2,3,4,5 \end{align*}$ ,

einzeln aufgeschlüsselt sind das

$\begin{align*} x_0 &= \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}+i}{2}\\ x_1 &= \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = i\\ x_2 &= \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{-\sqrt{3}+i}{2}\\ x_3 &= \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{-\sqrt{3}-i}{2}\\ x_4 &= \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -i\\ x_5 &= \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}-i}{2} \end{align*}$

Nun kann man $\begin{align*} (x_0,x_5) \end{align*}$ , $\begin{align*} (x_1,x_4) \end{align*}$ und $\begin{align*} (x_2,x_3) \end{align*}$ zu den konjugiert komplexen Paaren zusammenfassen, von denen im Hinweis oben die Rede ist.

EDIT: Fehler korrigiert - Danke, Nick. Freude

20.09.2016, 09:59

Steffen Bühler

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... und probier's ruhig mal aus: alle diese sechs Zahlen ergeben -1, wenn man sie zur sechsten Potenz erhebt.

Immer wieder gern gelesen: [WS] Komplexe Zahlen

Viele Grüße
Steffen

20.09.2016, 11:05

willyengland

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Vielen Dank, HAL!

Ich bekomme dann:

$\begin{eqnarray*} (x^2+1) (x^2-\sqrt{3} x+1) (x^2+\sqrt{3} x+1) \end{eqnarray*}$ (EDIT: x vergessen)

Das wäre also die Lösung?

@Steffen:
Habs für eine gemacht. Stimmt!

Das übt! smile

20.09.2016, 11:15

HAL 9000

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Es fehlt zweimal das $\begin{align*} x \end{align*}$ im Mittelterm - hoffentlich nur ein Schreibfehler. D.h., richtig ist $\begin{align*} (x^2+1) (x^2-\sqrt{3}{\color{red}x}+1) (x^2+\sqrt{3}{\color{red}x}+1) \end{align*}$ .

Was im übrigen auch hier

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1) = (x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2) = (x^2+1)\left((x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2\right) = \ldots \end{align*}$ .

rauskommt, wenn man beim letzten Term noch die binomische Formel $\begin{align*} a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \end{align*}$ zur Anwendung bringt.

20.09.2016, 11:42

willyengland

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Ja, danke!

$\begin{eqnarray*} x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir das jetzt so angucke ...
Mit meinen beiden Lösungen oben (i und -i) wäre ich ja auf $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ gekommmen und hätte dann per Polynomdivision $\begin{eqnarray*} (x^6+1) : (x^2+1) = x^4-x^2+1 \end{eqnarray*}$ ausrechnen können.
Auf den Trick mit der quadratischen Ergänzung wäre ich aber nicht gekommen. Freude

20.09.2016, 20:21

mYthos

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Die Polynomdivision ist nicht notwendig, wenn du dir die binomeische Formel

$\begin{eqnarray*} x^3 - 1 = (x - 1)(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$

wieder in Erinnerung rufst.
Wie eingangs schon erwähnt, stellt sich nun das Problem der Zerlegung des restlichen Polynomes 4. Grades.
Dabei kann man eben den Trick von Hal anwenden oder dieses Polynom - wenn möglich - in seine Radikale (Polynome mit reellen Koeffizienten) zerlegen.
Letzteres erfordert Kenntnisse, die in der Schulmathematik im Allgemeinen nicht vermittelt werden (Methoden von Galois).

mY+

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