Berechnung einer Schafherde

19.09.2016, 20:21	stoneadler	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung einer Schafherde Meine Frage: Ich habe hier folgende Aufgabe: Ein Schäfer sagt, meine Herde ist unter 1000 Schafen groß. angenommen, du würdest immer zwei wegnehmen, dann wäre am Ende eins übrig. wenn du aber immer drei wegnimmst, bleiben zwei übrig nimmst du immer 4 weg, bleiben 3 übrig wenn du immer 5 wegnimmst, hast du am Ende noch 4 übrig wenn du immer 6 wegnimmst, bleiben 5 übrig nimmst du aber immer 7 Schafe auf einmal weg, dann bleibt keins übrig. Meine Ideen: Ich habe momentan überhaupt keinen Ansatz. Bin über jede Hilfe dankbar (inkl. Lösungsweg).
19.09.2016, 21:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Seí $\begin{align} x \end{align}$ die gesuchte Anzahl. Dann kann man den ganzen Beschreibungstext so in Gleichungen übersetzen, dass es natürliche Zahlen $\begin{align} a,b,c,d,e,f \end{align}$ gibt mit $\begin{align} x &= 2a+1\\ x &= 3b+2\\x &= 4c+3\\ x &= 5d+4\\ x &= 6e+5\\ x &= 7f \end{align}$ . Die ersten sechs dieser Gleichungen kann man durch jeweiliges Addieren von 1 auch so schreiben $\begin{align} x+1 &= 2(a+1)\\ x+1 &= 3(b+1)\\x+1 &= 4(c+1)\\ x+1 &= 5(d+1)\\ x+1 &= 6(e+1) \end{align}$ , d.h. $\begin{align} (x+1) \end{align}$ muss durch 2,3,4,5,6 teilbar sein, insgesamt also durch $\begin{align} \operatorname{kgV}(2,3,4,5,6) = 60 \end{align}$ . Mit dem daraus entstehenden Ansatz $\begin{align} x+1=60g \end{align}$ sowie der siebten Gleichung $\begin{align} x=7f \end{align}$ kommt man rasch zur Lösung - aber nachdem ich ca. 90% des Lösungswegs verraten habe, stoppe ich hier besser. P.S.: Interessanterweise gibt es immer noch drei mögliche Schafanzahlen, d.h. die Beschreibung ist nicht ausreichend für eine eindeutige Anzahl.
29.08.2018, 21:44	mathekick	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, die Herleitung ist super zu verstehen. Vielen Dank dafür. Leider scheitere ich bei den letzten 10%.... Könnte mir da vielleicht jemand helfen? Herzlichen Dank
30.08.2018, 09:08	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Willkommen im Matheboard! Für diophantische Gleichungen ist diese Seite recht brauchbar. Viele Grüße Steffen
30.08.2018, 19:18	mathekick	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, aber die Seite zu dem Link verstehe ich noch nicht. Bin in der sechsten Klasse und die Aufgabe oben ist in unserem Mathebuch. Leider hat die Lehrerin uns das nicht erklärt, sondern nur die Lösung gesagt. Ich möchte das aber verstehen. Ich würde mich wirklich freuen, wenn das jemand erklären könnte. Viele Grüße
30.08.2018, 19:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung x+1 = 60g bedeutet, daß das gesuchte x um 1 kleiner ist als eine 60er-Zahl, also aus der Reihe 59, 119, 179, 239, ... ist. Die Gleichung x = 7f bedeutet, daß x eine 7er-Zahl, also aus der Reihe 7, 14, 21, 28, ... ist. Jetzt mußt du nur noch die Zahlen finden, die in beiden Reihen zugleich vorkommen. Teste doch einfach die Zahlen der oberen Reihe, ob sie durch 7 gehen. Das ist eine Fleißarbeit. Oder du überlegst dir, in welchem Abstand die gesuchten Zahlen auftreten müssen. Wenn du dann die erste gefunden hast, mußt du nur in diesem Abstand weitergehen.
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30.08.2018, 20:08	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kannst Du auf der erwähnten Seite die Gleichung 7f+1=60g eingeben und Dir die Erklärung durchlesen. Und verzweifle nicht, wenn es etwas kompliziert ist, das ist nicht unbedingt Stoff für die 6. Klasse. Umso schöner, wenn Dich es reizt, es zu verstehen. Neugier ist unbezahlbar.

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