Schwerpunkt einer Kreisfläche

19.09.2016, 22:26

cmplx96

Schwerpunkt einer Kreisfläche

Hallo zusammen,

Die Aufgabe lautet:
Wir betrachten den Kreisring für positive x- und y-Koordinaten zwischen den Kreisen mit Radius 1 und 2 (also
denjenigen Punkten der Ebene im ersten Quadranten, die einen Abstand zwischen 1 und 2 zum Ursprung haben).
Skizzieren Sie zunächst diesen Bereich. Berechnen Sie nun die Schwerpunktskoordinaten dieser Fläche mit Hilfe der
Polarkoordinaten.

Meine Ideen:
für die Fläche habe ich angesetzt:
$\begin{eqnarray*} A = \int_{\varphi = 0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=1}^{2} \! r dr \, d \varphi =\frac{3 \pi}{4} \end{eqnarray*}$

für die Schwerpunkskoordinaten:
$\begin{eqnarray*} x_{s} = \frac{4}{3 \pi} \int_{\varphi = 0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=1}^{2} \! r^{2}\cdot cos(\varphi) dr \, d \varphi =\frac{3 \pi}{4} = \frac{28}{9 \pi} \sim 0.99 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y_{s} = \frac{4}{3 \pi} \int_{\varphi = 0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=1}^{2} \! r^{2}\cdot sin(\varphi) dr \, d \varphi =\frac{3 \pi}{4} = \frac{28}{9 \pi} \sim 0.99 \end{eqnarray*}$

Meine Frage:
Die Koordinaten müssten doch eigentlich bei ~x=1.5 und y=1.5 liegen ?
So liegen die Schwerpunkte ja nichtmal in der Fläche.

Danke im Voraus!

20.09.2016, 02:12

10001000Nick1

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Deine Ergebnisse stimmen (bis auf das $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{4} \end{eqnarray*}$ bei den letzten beiden Integralen, die sicher durch Copy&Paste entstanden sind Augenzwinkern

).

Wer sagt denn, dass der Schwerpunkt einer Fläche in der Fläche liegen muss?

Nehmen wir mal ein etwas anderes Beispiel: Den ganzen Kreisring zwischen den Radien 1 und 2. Aus Symmetriegründen ist da klar, dass der Schwerpunkt genau im Mittelpunkt liegen muss. Und der liegt auch nicht in der Fläche.

20.09.2016, 11:32

HAL 9000

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Nur zur Terminologie: Man hätte hier von Anfang an von einem Kreisringsektor sprechen sollen.

Zitat:

Original von cmplx96
So liegen die Schwerpunkte ja nichtmal in der Fläche.

Bei konvexen Flächen würde ich mir in so einem Fall auch Sorgen machen. Aber dein Kreisringsektor ist nicht konvex. Augenzwinkern

P.S.: Übrigens liegt $\begin{align*} (x_s,y_s) \end{align*}$ doch in der Fläche.

20.09.2016, 18:58

cmplx96

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Alles klar, da bin ich ja beruhigt.
Vielen Dank für die Antworten!