Stichproben, Schätzer für Varianz, Zentrale GWS

21.09.2016, 08:01	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichproben, Schätzer für Varianz, Zentrale GWS Seien $\begin{eqnarray} X_1,..,X_n \end{eqnarray}$ Zufalls-Stichproben mit $\begin{eqnarray} E(X_i)=m, Var(X_i)=\sigma^2 \end{eqnarray}$ Aus dem Zentralen Grenzwertsatz und dem Gesetz der großen Zahlen weiß ich: $\begin{eqnarray} P(\lim_{n\rightarrow\infty} \overline{X_n}=\mu)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty} P(\sqrt{n} \frac{\overline{X_n}-\mu}{\sigma} \le x)= \Phi (x) \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \Phi(x) \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunkion der Standardnormalverteilung ist und $\begin{eqnarray} \overline{X_n}:= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} S_n^2 := \frac{1}{n-1} \sum_{j=1}^n (X_j-\overline{X})^2 \end{eqnarray}$ die Stichprobenvarianz, gilt auch $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty} P(\sqrt{n} \frac{\overline{X_n}-\mu}{S_n} \le x)= \Phi (x) \end{eqnarray}$ ?? Was ich/im Kurs schon berechnet habe/wurde ist, dass gilt $\begin{eqnarray} E(S_n^2)=Var(X_j) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(\lim_{n\rightarrow\infty} S_n^2= \sigma^2)=1 \end{eqnarray}$ D.h. $\begin{eqnarray} S_n^ \rightarrow \sigma^2 \end{eqnarray}$ fast sicher. Kann man nun aus den zetralen Grenzwertsatz und obiger Tatsache bestimmen ob $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty} P(\sqrt{n} \frac{\overline{X_n}-\mu}{S_n} \le x)= \Phi (x) \end{eqnarray}$ ?? LG, MaGi

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