L'Hospital

21.09.2016, 13:17

Dr. Inkognito

L'Hospital

Hallo, ich versuche folgenden Grenzwert zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2} (tan \frac{3 \pi x}{4})^{\frac{1}{cos{\frac{\pi x}{4}}}} \end{eqnarray*}$

Ich versuche es folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2} (tan \frac{3 \pi x}{4})^{\frac{1}{cos{\frac{\pi x}{4}}}} = \gamma = e^{ln(\gamma)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\gamma) = \lim_{x \to -2} \frac{ln(tan(\frac{3 \pi x}{4}))} {cos(\frac{\pi}{4} x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to -2} \frac {\frac{1}{tan(\frac{3 \pi x}{4})} * \frac{1}{cos^2(\frac{3 \pi x}{4})} * \frac{3 \pi}{4}} {-sin(\frac{\pi x}{4}) * \frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -3 \lim_{x \to -2} \frac {1}{tan(\frac{3 \pi x}{4}) * cos^2(\frac{3 \pi x}{4}) * sin(\frac{\pi x}{4})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -3 \lim_{x \to -2} \frac {cos(\frac{3 \pi x}{4})}{sin(\frac{3 \pi x}{4}) * cos^2(\frac{3 \pi x}{4}) * sin(\frac{\pi x}{4})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -3 \lim_{x \to -2} \frac {1}{sin(\frac{3 \pi x}{4}) * cos(\frac{3 \pi x}{4}) * sin(\frac{\pi x}{4})} \end{eqnarray*}$

Hier kommt bei mir unten 0 durch einsetzen von -2 raus. Heißt das, ich habe keinen Grenzwert?
Ich dachte, man kann L'Hospital nicht anwenden, wenn ich nach dem Ableiten keinen Grenzwert herausbekommen würde... es MUSS aber einer rauskommen und L'Hospital MUSS angewendet werden können.
Verstehe ich die Definition von L'Hospital nicht oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht?

21.09.2016, 13:41

klarsoweit

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RE: L'Hospital

Zitat:

Original von Dr. Inkognito
es MUSS aber einer rauskommen

Wer sagt denn das? Schau dir doch mal an, wohin Basis bzw. Exponent für x gegen -2 hingehen.

21.09.2016, 13:56

Dr. Inkognito

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RE: L'Hospital
Moment noch ein Versuch.
Man darf L'Hospital genau dann nicht anwenden, wenn mindestens eine der Ableitungen von Zähler oder Nenner keinen Grenzwert haben und nicht der Bruch, der dann am Ende rauskommt?
Wenn das so ist, dann kann ich mit gutem Gewissen sagen, dass da $\begin{eqnarray*} ln(\gamma) = - \infty \end{eqnarray*}$ rauskommt und damit der Grenzwert des obersten Terms 0 ist.

Für die Betrachtung des ganzen Anfangsterms sehe ich nur $\begin{eqnarray*} (-\infty)^{\infty} \end{eqnarray*}$ , verstehe aber nicht was ich genau daraus ablesen soll.

21.09.2016, 14:09

Dr. Inkognito

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RE: L'Hospital
Ok, nach Wikipedia war meine erste Annahme doch richtig.
Damit ist das Ergebnis, was ich in meinem letzten Post geschrieben habe, falsch.

Jedoch bekomme ich immer noch in meinem Anfangsterm $\begin{eqnarray*} (- \infty)^{\infty} \end{eqnarray*}$ heraus.
Ich denke, ich kann mir schon vorstellen, dass hier doch kein Grenzwert existieren wird...
Hm... interessant ist dabei, dass in der Aufgabe gesagt wird, dass L'Hospital angewendet werden muss. Wenn hier L'Hospital tatsächlich nichts bringt dann ist die Aufgabe wohl nicht korrekt gestellt oder?

21.09.2016, 14:12

klarsoweit

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RE: L'Hospital
Erst mal kommt es darauf an, von welcher Seite du das x gegen -2 laufen läßt. Außerdem sind Ausdrücke mit negativer Basis und reellem Exponenten immer etwas fragwürdig bezüglich der Wohldefiniertheit.

EDIT: Hatten wir hier nicht schon mal ein ähnliches Thema?

21.09.2016, 14:13

IfindU

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RE: L'Hospital
@klarsoweit

Ich denke mal du spielst auf das hier an: L'Hospital

21.09.2016, 15:05

Dr. Inkognito

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RE: L'Hospital

Zitat:

Original von klarsoweit
Erst mal kommt es darauf an, von welcher Seite du das x gegen -2 laufen läßt. Außerdem sind Ausdrücke mit negativer Basis und reellem Exponenten immer etwas fragwürdig bezüglich der Wohldefiniertheit.

EDIT: Hatten wir hier nicht schon mal ein ähnliches Thema?

Ah vielen Dank für den Tipp, dann hat sichs erledigt, man sieht hier nämlich sofort dass das divergent ist, und gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ läuft, da x gegen -2 von LINKS läuft. Ich hatte mir das irgendwie mit von RECHTS vorgestellt, obwohl der Limes dazu keine Aussage gemacht hat....

Also nur noch zum Verständnis: Der L'Hospital bringt dann in dieser Aufgabe wirklich rein gar nichts, wenn man ihn anwendet, oder?

Und ja, ich habe was ähnliches mal gepostet, bei dem Fall ist mir aber schon alles klar.

21.09.2016, 15:18

klarsoweit

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RE: L'Hospital

Zitat:

Original von Dr. Inkognito
Also nur noch zum Verständnis: Der L'Hospital bringt dann in dieser Aufgabe wirklich rein gar nichts, wenn man ihn anwendet, oder?

So würde ich es jetzt nichts ausdrücken. Zumindest erhält man damit auch das Ergebnis.

21.09.2016, 17:29

Dr. Inkognito

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RE: L'Hospital
Naja, wenn ich ihn anwende, bekomme ich ja nach dem ableiten wieder keinen Grenzwert, aber daraus kann ich doch nicht schließen, dass beim Original kein Grenzwert vorhanden ist oder? Dann könnte ichs mit dem L'Hospital ja nach meiner Sicht auch sein lassen.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

22.09.2016, 08:32

klarsoweit

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RE: L'Hospital

Zitat:

Original von Dr. Inkognito
Naja, wenn ich ihn anwende, bekomme ich ja nach dem ableiten wieder keinen Grenzwert, aber daraus kann ich doch nicht schließen, dass beim Original kein Grenzwert vorhanden ist oder?

Die l'Hospital-Regel funktioniert auch für bestimmte Divergenz. Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_...se_Formulierung smile

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