Induktionsbeweis einer Fkt

05.03.2007, 19:02

andreasbalzer

Induktionsbeweis einer Fkt

Hallo!
Ich verstehe irgendwie nicht, wie eine vollständige Induktion einer Funktion geführt werden muss, bei der es darum geht, z.B. nachzuweisen, dass eine bestimmte Vorschrift für alle z.B. geraden Ableitungen der Fkt gilt.

Könnt ihr mir ein Beispiel geben und erklären, wie sowas geht? Ich weiß nur, dass es einen Induktionsanfang (n=1), einen IS (heißt das Induktionsschritt?) (n=k), eine IBehauptung und einen IBeweis geben müsste.. Aber wie funktioniert sowas?

Bei Folgen ging das ja mit s(k+1)=a(k+1) + sk.. aber wie läuft so ein Beweis bei Funktionen?

Gibt's da eine Doku im Netz?

Grüße
Andreas

05.03.2007, 19:21

vieti

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Was meinst du mit Funktionen?
Summenformeln beweisen?

so etwas?
S(n)=1+2+3+...+n=(n(n+1))/2

05.03.2007, 19:24

Vieta

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dieser etwas unqualifizierte beitrag da oben kam von mir

vielleicht findest du ja in dem link was du suchst http://www.emath.de/cgi-bin/Statistik/ax...n-loesungen.pdf

05.03.2007, 21:28

vektorraum

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RE: Induktionsbeweis einer Fkt

Zitat:

Original von andreasbalzer
Hallo!
Ich verstehe irgendwie nicht, wie eine vollständige Induktion einer Funktion geführt werden muss, bei der es darum geht, z.B. nachzuweisen, dass eine bestimmte Vorschrift für alle z.B. geraden Ableitungen der Fkt gilt.

Bei Folgen ging das ja mit s(k+1)=a(k+1) + sk.. aber wie läuft so ein Beweis bei Funktionen?

Grüße
Andreas

Meinst du sowas hier???

Sei

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left(1-\cfrac{x}{2}\right),~~~~x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=-\cfrac{(n-1)!}{(2-x)^n} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} n- \end{eqnarray*}$ te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sei.

06.03.2007, 14:48

andreasbalzer

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@vektorraum: Ja, genau sowas meine ich. Kannst du mir eine detaillierte Anleitung schicken? Gott

06.03.2007, 15:00

Lazarus

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Und kennst du das Prinzip der Vollständigen Induktion ?

Fang halt mal an mit dem Induktionsbeginn.
Wie wäre der Schritt n -> n+1 hier zu interpretieren ?

06.03.2007, 15:05

vektorraum

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Zitat:

Original von andreasbalzer
@vektorraum: Ja, genau sowas meine ich. Kannst du mir eine detaillierte Anleitung schicken? Gott

Na ja, du machst halt ne ganz normale Induktion. Versuche mal ein paar Ableitungen zu bilden. Bis zur dritten müsste es erstmal reichen, und dann stellst du eine Vermutung auf, wie denn die n-te Ableitung heißen könnte. Sieht man eigentlich relativ schnell. Dann versuchst du diese Behauptung zu beweisen. Ganz klassisch mit Vollständiger Induktion!

Schreib selbst erstmal deine Ergebnisse.

06.03.2007, 15:18

andreasbalzer

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Also ich hab' mal mein Glück versucht und bin schon nach den ersten Zeilen gescheitert :-/

Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ln{1-\frac{x}{2}} xER; n>=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{(n)}(x) = -\frac{(n-1)!}{(2-x)^n} \end{eqnarray*}$

Jetzt erstmal die Ableitung von f(x) bilden..:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{1-\frac{x}{2}}*\frac{x}{3} \end{eqnarray*}$
das müsste folgendes ergeben:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x}{6-3x} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich n=1 (ist ja nach dem DB das kleinste n das möglich ist.. (und alles andere wäre ja auch keine 'Ableitung')
$\begin{eqnarray*} f_{(1)}(x) = -\frac{0}{(2-x)^1} \end{eqnarray*}$

Hm.. jetzt ergibt sich ein etwas größeres Problem.. unglücklich

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f_{1} ?? \end{eqnarray*}$ verwirrt

Nun ja.. Irgendwo ist also ein Fehler.. Aber wo?

Mache ich also mit dem Induktionsschritt weiter, um wenigstens einen 'Punkt' erhaschen zu können..
$\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{(k)}(x) = -\frac{(k-1)!}{(2-x)^k} \end{eqnarray*}$

Würde jetzt also meine Überprüfung oben theoretisch stimmen (was sie ja augenscheinlich nicht tut), dann würde jetzt so weit ich das begriffen habe die Induktionsbehauptung kommen..
$\begin{eqnarray*} f_{(k)}'=f_{(k+1)} \end{eqnarray*}$
was dann hoffentlich im Induktionsbeweis herauskommen würde.. traurig

06.03.2007, 23:26

vektorraum

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Hi!

So richtig gut sieht das in der Tat nicht aus. Ich helfe dir mal ein wenig.

Induktionsanfang für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ :
Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\cfrac{(1-1)!}{(2-x)^1} \end{eqnarray*}$

Beweis nach der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{1-\frac{x}{2}}=-\cfrac{1}{2-x}=-\cfrac{(1-1)!}{(2-x)^1} \end{eqnarray*}$

weil du weißt, dass $\begin{eqnarray*} 0!:=1 \end{eqnarray*}$ .

Gut, erster Schritt geschafft - Aufatmen. Jetzt zum Induktionsschirtt. Eine Anleitung:

Du kennst die Voraussetzung (die n-te-Ableitung)

Bilde $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)' \end{eqnarray*}$

und so fort. Denke dran, irgendwie die Induktionsvoraussetzung einzusetzen! Meld dich dann nochmal!

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