Stetigkeit im Ursprung - mehrere Veränderliche

21.09.2016, 17:05	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit im Ursprung - mehrere Veränderliche Hallo zusammen, ich habe eine Frage zur Untersuchung von Stetigkeit. Gegeben ist eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) = \frac{2x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray}$ . Keine weiteren Angaben. Die Aufgabe ist, die Funktion auf Stetigkeit im Ursprung zu untersuchen. Meine Ideen: Aufgrund des Nenners habe ich direkt an Polarkoordinaten gedacht. Im Skript steht, dass Stetigkeit im Ursprung vorliegt, wennn gilt: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{r \rightarrow 0} f(r\cdot cos(\varphi), r\cdot sin(\varphi)) = f(0,0) \end{eqnarray}$ Aber bis jetzt wenn ich Polarkoordinaten verwendet habe, um Stetigkeit zu zeigen, ist die Funktion in verschiedenen Intervallen definiert gewesen. Also z.B. $\begin{eqnarray} f(x,y) = \frac{2x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray}$ . Ich habe die Polarkoordinaten eingesetzt und nach Umformungen rausbekommen: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{r \rightarrow 0} r(2\cdot cos^{3}(\varphi)-sin^{3}(\varphi)) \end{eqnarray}$ Das Ergebnis ist 0 und auch unabhängig vom Winkel. Leider weiß ich aber nicht, wie der Wert für f(0,0) ist und kann so die Bedingung für Stetigkeit im Ursprung nicht erfüllen. Sind Polarkoordinaten in dem Fall, dass die Funktion für den Ursprung nicht gesondert definiert wurde der falsche Ansatz? Danke im Voraus!
21.09.2016, 20:01	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit im Ursprung - mehrere Veränderliche Wenn die Funktion in (0,0) nicht definiert ist, dann ist sie da gar nichts, weder stetig noch unstetig. Du koenntest Dich aber mit der Frage beschaeftigen, ob sie stetig nach (0,0) fortgesetzt werden kann.
21.09.2016, 20:13	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Heißt stetig fortsetzen stetig ergänzen?
21.09.2016, 20:41	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher.
21.09.2016, 21:01	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider finde ich keine Ergänzung. Polynomdivision klappt auch nicht. Hat Jemand einen Vorschlag?
21.09.2016, 21:11	005	Auf diesen Beitrag antworten »
matheboard.de/thread.php?threadid=571315
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21.09.2016, 21:29	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
21.09.2016, 21:38	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt den Grenzwert gebildet: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x,y \rightarrow 0} f(x,y) = \lim\limits_{x,y \rightarrow 0} \frac{2x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray}$ Dieser ist nach l'Hospital: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x,y \rightarrow 0} \frac{12x-6y}{4} = 0 \end{eqnarray}$ Reicht das als Beweis für Stetigkeit im Ursprung?
21.09.2016, 22:17	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht liest Du ja mal durch, was Dir geantwortet wird. Die Funktion ist im Nullpunkt weder stetig noch unstetig, sondern gar nicht definiert. Wenn Du sie da stetig ergaenzen willst, dann musst Du sagen, wie dazu f(0,0) zu definieren ist. Vielleicht merkst Du sogar mal, dass Du die noetige Rechnung bereits in Deinem ersten Beitrag gemacht hast. Und Dein L'Hospital ist hier ganz unglaublich daneben. Vor allem ist der Grenzwert fuer (x,y)->(0,0) zu berechnen und nicht fuer x,y->0 (was auch immer damit gemeint sein mag und was auch immer Du gemacht hast).

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