Integralrechnung

22.09.2016, 15:09

Denispable

Integralrechnung

Meine Frage:
Es Sei $\begin{eqnarray*} E_{n} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! x^{n}e^{x} \, dx\ , n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} E_{0},E_{1},E_{2} \end{eqnarray*}$ und geben Sie eine Rekursionsformel für $\begin{eqnarray*} E_{n} \end{eqnarray*}$ an.

Meine Ideen:
Ich habe folgende Probleme : 1. kann es sein das $\begin{eqnarray*} E_{0} \end{eqnarray*}$ nicht definiert und E1=E2=e ist?
2. Was ist eine Rekursionsformel und wie stellt man sowas auf?

22.09.2016, 15:18

HAL 9000

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1) Wir haben einen auf dem abgeschlossenen Intervall [0,1] stetigen Integranden - warum soll da das Integral nicht definiert sein? Es ist definiert, auch im Fall $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ . Und sowohl $\begin{align*} E_1=e \end{align*}$ als auch $\begin{align*} E_2=e \end{align*}$ sind falsch.

2) Rekursionsformel heißt, dass du eine Formel für $\begin{align*} E_n \end{align*}$ aufstellst, in der $\begin{align*} E_k \end{align*}$ für Indizes $\begin{align*} k<n \end{align*}$ vorkommen dürfen. Im vorliegenden Fall reicht da das eine $\begin{align*} k=n-1 \end{align*}$ . Versuch es einfach mit partieller Integration $\begin{align*} \int uv' ~ \dd x = uv - \int u'v ~ \dd x \end{align*}$ mit $\begin{align*} u=x^n \end{align*}$ und $\begin{align*} v=e^x \end{align*}$ .

22.09.2016, 20:43

Denispable

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E berechnet man doch, indem man die Intervallgrenzen einsetzt oder? Wodurch für n=0 doch $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ergibt. Danach setzt ich F(1)-F(0) ein, wodurch ich bei F(0) auf 0^0 stoße.

22.09.2016, 21:34

HAL 9000

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Wie stets bei Polynomen gilt die Sonderregelung $\begin{align*} x^0=1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ - auch für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ . Und selbst wenn nicht - der eine einzige Punkt ist für den Integralwert vollkommen unwichtig. Augenzwinkern

Es ist also $\begin{align*} E_0 = \int\limits_0^1 e^x ~ \dd x = e-1 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Denispable
E berechnet man doch, indem man die Intervallgrenzen einsetzt oder?

Langsam ahne ich, wie du oben auf $\begin{align*} E_1=E_2=e \end{align*}$ gekommen bist: Du rechnest einfach $\begin{align*} \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x \stackrel{???}{=} f(b)-f(a) \end{align*}$ .

Ist jetzt nicht dein Ernst, oder? geschockt

Der Hauptsatz lautet $\begin{align*} \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x = F(b)-F(a) \end{align*}$ , rechts mit Stammfunktion (!) $\begin{align*} F \end{align*}$ von $\begin{align*} f \end{align*}$ , d.h., rechts steht nicht $\begin{align*} f \end{align*}$ selbst. unglücklich

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