Markoffsche Ungleichung mit K<M

22.09.2016, 15:22	333Rosie	Auf diesen Beitrag antworten »
Markoffsche Ungleichung mit K<M Meine Frage: Hallo liebe UserInnen. Ich habe hier eine Aufgabe zur Markoffschen Ungleihung, die egal wie ich es versuche einen negativen Wert fuer die Wahrscheinlichkeit angibt.Also ist irgendetwas an der Aufgabe falsch? Mittelwert sei 30. Es ist gefragt, wie viele von 47 Studierenden höchstens 25 Punkte haben. Maximal könne man 64 Punkte erreichen. Meine Ideen: Mein Rechenweg: P(x<26) >= 1 - M/26 = -0.15... Also als wir die Ungleichung gelernt haben, war es keine Bedingung, dass Knicht kleiner als n sein darf. Ich habe jetzt einfach statt P(X<26) P(>=35)berechnet, weil ih dachte das geht auch. Nur weiß ich nicht ob das alles richtig ist.
22.09.2016, 16:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, wo du hier ein stochastisches Problem siehst, welches der Markowschen Ungleichung bedarf. Sei $\begin{align} x \end{align}$ die Anzahl der Studenten mit höchstens 25 Punkten, dann gilt mit Gesamtsumme $\begin{align} 47\cdot 30=1410 \end{align}$ aller Punktzahlen die Doppelungleichung $\begin{align} (47-x)\cdot 26 \leq 1410 \leq 25x + (47-x)\cdot 64 \end{align}$ , daraus leitet sich $\begin{align} -\frac{94}{13} \leq x \leq \frac{1598}{39}\approx 40.97 \end{align}$ ab, also angesichts der Nichtnegativität von $\begin{align} x \end{align}$ dann $\begin{align} 0\leq x\leq 40 \end{align}$ . Und ohne genauere Informationen über die Punktverteilung sind auch tatsächlich Szenarien für alle diese Werte angebbar: Z.B. $\begin{align} x=0 \end{align}$ : Alle 47 Studenten haben 30 Punkte. Oder $\begin{align} x=40 \end{align}$ : 40 Studenten haben 25 Punkte, 1 hat 26 Punkte und 6 Studenten haben 64 Punkte.
22.09.2016, 16:16	hh679	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke kann sein, dass das gewollt ist. Aber wir haben dieses Jahr die Markoffsche Ungleichung behandelt, deswegen bin ich mir sicher, dass die auch verwendet werden soll. Wie würdest du das Problem denn mit der Markffschen lösen?
22.09.2016, 16:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab dich beim Wort genommen, du hast von "Mittelwert 30" gesprochen, also habe ich natürlich angenommen, du meinst den Mittelwert der Punktzahlen der 47 Studenten. Falls du hingegen mit $\begin{align} X \end{align}$ die zufällige Punktzahl eines Studenten meinst, von der nur $\begin{align} 0\leq X\leq 64 \end{align}$ sowie Erwartungswert (!) $\begin{align} E(X)=30 \end{align}$ (statt Mittelwert) bekannt ist, dann stimmt deine Rechnung $\begin{align} P(X<26) \geq 1 - \frac{30}{26} \end{align}$ durchaus - sie ist nur für die Katz: Denn $\begin{align} P(X<26)\geq 0 \end{align}$ ist ohnehin klar, d.h. diese Anwendung der Markovungleichung bringt kein mehr an Erkenntnis über den Sachverhalt. Du könntest aber nutzen, dass die am möglichen Maximum fehlende Punktzahl $\begin{align} Y:=64-X \end{align}$ ebenfalls eine nichtnegative Zufallsgröße ist, und für die gilt dann ebenfalls laut Markow $\begin{align} P(X\leq 25) = P(Y\geq 39) \leq \frac{E(Y)}{39} = \frac{34}{39} \approx 0.8718 \end{align}$ , also eine Abschätzung nach oben.

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