Probleme beim Lösen eines LGS mit GTR

22.09.2016, 17:54

Försterchen

Probleme beim Lösen eines LGS mit GTR

Meine Frage:
Das ist die Aufgabe: Müsli-Hersteller Cerealis hatte bisher eine Mischung verkauft, die etwa aus 40% A, 35% B, 15% C und 10% D besteht. Nach umfangreichen Verbrauchertests entschließt er sich, die Mischungsverhältnisse zu ändern: Die Anteile sollen in Zukunft 50%,20%,24% und 6% betragen. Von der alten Mischung sind noch 1000 kg vorhanden. Diese soll durch hinzufügen geeigneter Mengen zur neuen Geschmacksrichtung abgeändert werden. Welches sind die Mindesmengen, die hinzugefügt werden müssen?

Meine Ideen:
Das ist das, Ergebnis was ich erhalte. Wie löse ich dieses?

(v: Zugabe von Weizen- und Roggenflocken; w: Zugabe von Cornflakes; x=Zugabe von Rosienen und Trockenobst; ZUgabe von Nüssen und Mandeln)

400+v=0,5e
350+w=0,2e
150+x=0,24e
100+y=0,06e
e=1000+v+w+x+y

Umgestellt zu:

v-0,5e=-400
w-0,2e=-350
x-0,24e=-150
y-0,06e=-100
e-v-w-x-y=1000

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	v w x y e 1 0 0 0 -0,5 -400 0 1 0 0 -0,2 -350 0 0 1 0 -0,24 -150 0 0 0 1 -0,06 -100 -1 -1 -1 -1 1 1000

Das LGS ergibt bei Lösung mithilfe meines GTRs kein brauchbares Ergebnis. Wahrscheinlich habe ich einen Fehler bei der Aufstellung gemacht. CAS-Geräte sind bei uns nicht eingeführt.

Willkommen im Matheboard!
Ich habe die Korrektur aus dem zweiten Beitrag hier eingefügt und ihn gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Außerdem ist die Tabelle jetzt in Festbreitenschrift, da kann man sie besser lesen.
Viele Grüße
Steffen

22.09.2016, 19:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Försterchen
400+v=0,5e
350+w=0,2e
150+x=0,24e
100+y=0,06e

Richtig. Es wird aber noch gefordert, dass $\begin{align*} v,w,x,y \end{align*}$ nichtnegativ sind, daher muss gelten

$\begin{align*} 400 &\leq 0.5e\\ 350 &\leq 0.2e\\ 150 &\leq 0.24e\\ 100 &\leq 0.06e \end{align*}$ ,

woraus folgt

$\begin{align*} e\geq \max\left\{ \frac{400}{0.5}, \frac{350}{0.2}, \frac{150}{0.24}, \frac{100}{0.06} \right\} = \max\left\{ 800, 1750, 625, 1666.7 \right\} = 1750 \end{align*}$ .

Da wir $\begin{align*} e \end{align*}$ minimal wählen wollen, ist $\begin{align*} e=1750 \end{align*}$ . Rückwärts eingesetzt fallen $\begin{align*} v,w,x,y \end{align*}$ sofort ab.

22.09.2016, 20:03

Försterchen

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Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{align*} e\geq \max\left\{ \frac{400}{0.5}, \frac{350}{0.2}, \frac{150}{0.24}, \frac{100}{0.6} \right\} = \max\left\{ 800, 1750, 625, 1666.7 \right\} = 1750 \end{align*}$ .

Der Begriff "max{}" ist mir so nicht bekannt. Wird damit einfach nach dem Maximum aus den angegebenen Elementen gesucht?

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

22.09.2016, 20:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Försterchen
Der Begriff "max{}" ist mir so nicht bekannt. Wird damit einfach nach dem Maximum aus den angegebenen Elementen gesucht?

Ja.

22.09.2016, 20:06

Försterchen

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Zitat:

Original von HAL 9000

Richtig. Es wird aber noch gefordert, dass $\begin{align*} v,w,x,y \end{align*}$ nichtnegativ sind, daher muss gelten

$\begin{align*} 400 &\leq 0.5e\\ 350 &\leq 0.2e\\ 150 &\leq 0.24e\\ 100 &\leq 0.06e \end{align*}$ ,

Wie kommst du auf diese Ungleichungen, der Schritt ist mir noch nicht ganz klar geworden. Kannst du dies vielleicht an einem Beispiel deutlich machen?

22.09.2016, 20:10

HAL 9000

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Ich hoffe, dass

$\begin{align*} 400 &\leq 0.5e\\ 350 &\leq 0.2e\\ 150 &\leq 0.24e\\ 100 &\leq 0.06e \end{align*}$

erstmal klar ist. Dann dividierst du jede dieser Ungleichung durch den Faktor, der vor $\begin{align*} e \end{align*}$ steht:

$\begin{align*} \frac{400}{0.5} &\leq e\\ \frac{350}{0.2} &\leq e\\ \frac{150}{0.24} &\leq e\\ \frac{100}{0.06} &\leq e \end{align*}$ .

$\begin{align*} e \end{align*}$ muss also größer oder gleich als jede dieser vier Zahlen links sein - das ist gleichbedeutend damit, dass es größer oder gleich dem Maximum dieser vier ist.

22.09.2016, 20:11

Försterchen

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"Ich fühle mich jetzt schon viel besser!" Augenzwinkern

Vielen Dank HAL 9000, du warst mir eine große Hilfe!

22.09.2016, 20:13

HAL 9000

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Hast du deinen vorletzten Beitrag editiert? Irgendwie stand da vorher was anderes - auf die jetzt dort stehende Frage passt meine Antwort natürlich nicht so richtig.

22.09.2016, 20:14

Försterchen

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Ich hatte leider das falsche Zitat erwischt

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