produkt zweier zufallsvariablen

23.09.2016, 22:12	inforamtikstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
produkt zweier zufallsvariablen Hallo, wenn X,Y und Z unabhängige Zufallsvariablen sind, gilt dann auch X*Y und Z sind unabhängig? Leider finde weder im google noch im Skript etwas dazu. Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
26.09.2016, 14:44	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: produkt zweier zufallsvariablen Hallo, das stimmt (vorausgesetzt die Wertemenge ist ein vollständig separabler metrischer Raum - oder einfach nur metrischer Raum sollte auch reichen, sagen wir $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ), es gilt nämlich: $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ unabhängig gdw $\begin{eqnarray} E[f(X) g(Y)] = E[f(X)] E[g(Y)] \end{eqnarray}$ für alle stetig beschrängten Funktionen $\begin{eqnarray} f,g:E \to \mathbb R \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ unabhängig ist von $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ auch unabhängig von $\begin{eqnarray} (X,Y) \end{eqnarray}$ (als Zufallsvariable in $\begin{eqnarray} E \times E \end{eqnarray}$ ) und damit (bezeichne mit $\begin{eqnarray} \tilde f(X,Y) = X \cdot Y \end{eqnarray}$ das Produkt) $\begin{eqnarray} E[f(X\cdot Y) g(Z)] = E[f(\tilde f(X,Y)) g(Y)] = E[f(\tilde f(X,Y))] E[ g(Y)] = E[f(X \cdot Y)] E[g(Z)] \end{eqnarray}$ Schöne Grüße

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