Doppelintegral von e-Funktion

Neue Frage »

24.09.2016, 14:44	Das_asdf_Wort	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral von e-Funktion Hi @ll Ich habe folgendes Problem: Berechnen Sie den Wert des folgenden Integrals $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! \, dx \int_{-\infty}^{\infty} \! \, dy e^{-(x^2+y^2)} \end{eqnarray}$ Ich habe diese in Polarkoordinatenform umgewandelt. Jacobi Matrix liefert $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! \, \int_{-\infty}^{\infty} \! \, r e^{ -r^2 } dr\;d\phi \end{eqnarray}$ Ich habe im inet ähnliche Probleme gesehen, wo das $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ersetzt wurde. Die Stammfunktion müsste $\begin{eqnarray} ue^{-u} - e^{-u} \end{eqnarray}$ Könnte mir jemand, den ersten Schritt vorrechnen, damit ich eine Idee bekomme, wie es Formell zusammenhängt. Also wie genau integriere ich das jetzt? Besten Dank im Vorraus (es müsste jeweils $\begin{eqnarray} e^u \end{eqnarray}$ mit einem Minus vor dem "u" sein. Ich hab's mit dem Formeleditor nicht hinbekommen. das gleiche bei $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ ) Edit Equester: Latex korrigiert
25.09.2016, 00:24	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst {} Klammern im Exponenten benutzen . Habe das mal korrigiert. Wie hast du denn die Jacobi-Matrix errechnet? Probier das für dieses Mal nochmals, generell darf aber die Determinante für Polarkoordinaten als bekannt vorausgesetzt werden. (Oder ist das ein Schreibfehler und du meinst r wie im Integral geschrieben? Dann passts) Zum Integral: Die Grenzen passen leider nicht. Ein Radius kann nicht negativ werden, wir starten also bei 0. Und phi beschreibt einen Winkel...Wie würdest du die Grenzen für einen Vollkreis beschreiben? Wenn wir die Grenzen dann passend gemacht haben, können wir schnell nach phi integrieren und das als erledigt betrachten, für r hast du dann schon die richtige Substitution angegeben: u = r^2. Wie ersetzt du dann dr?
25.09.2016, 09:05	Das_asdf_Wort	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Danke für die Antwort. Ja das mit $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ war ein Fehler. Ich habe vermutlich auch mit dem formellen Aspekten ein Problem. Du schreibst, du möchtest nach phi integriereren. Aber so wie es geschrieben ist, müsste ich doch nach r zuerst rechnen? $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \, \int_{0}^{\infty } \! \, e^{-(r^2)} rdrd\phi \end{eqnarray}$ Nun, muss ich zuerst die innere ausrechnen, also nach r? Also suche ich die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} re^{-(u)} \end{eqnarray}$ Ergibt das folgende: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \, \int_{0}^{\infty } \! \, e^{-(u)} rdrd\phi \end{eqnarray}$ dabei ersetze ich $\begin{eqnarray} r = du/dx \end{eqnarray}$ . das stell ich jetzt nach dx um -> $\begin{eqnarray} dx = du/r \end{eqnarray}$ (wobei ich das hier nicht wirklich verstehe, hättest du vll ein Überbegriff, wo ich das am besten lerne? Ich hab's jetzt einfach aus anderen beispielen kopiert.) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \, \int_{0}^{\infty } \! \, e^{-(u)} rdu/r d\phi \end{eqnarray}$ Das r kürzt sich hierbei weg. Nun integriere ich: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \, \left[-u'e^{-(u)}\right]_{0}^{\infty } d\phi \end{eqnarray}$ Ich substituiere also zurück: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \, \left[-2re^{-(r^2)}\right]_{0}^{\infty } d\phi \end{eqnarray*}$ Stimmt das soweit? Wie gehe ich weiter vor? Wie integriere ich das nach "unendlich"?
25.09.2016, 09:18	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall ist egal wierum man integriert. Aber ja, wir können zuerst nach r integrieren. Du kannst r nicht durch du/dx ersetzen. Wie kommst du drauf, zumal x hier nichts zu suchen hat? Du hast doch substituiert (das ist wohl auch der Schlagbegriff den du suchst "Substitution"). Dabei hast du r² = u gesetzt. Wenn du nun "du" finden willst, musst du das gerade substituierte ableiten. 2r dr = du (Wie das genau(er) funktioniert kannst du hier nachlesen: http://www.mathebibel.de/integration-durch-substitution oder hier https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution) Anmerkung: Es kommt kein Malpunkt vor bzw. zwischen dr, du etc. Sieh es als "Indikatoren" (nach was wird integriert) und nicht als Faktoren!
25.09.2016, 10:16	Das_asdf_Wort	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bis hier hin sollte es stimmen $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \, \int_{0}^{\infty } \! \, e^{-(r^2)} rdrd\phi \end{eqnarray}$ Nun substituiere ich $\begin{eqnarray} r^2 =u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=2r \end{eqnarray}$ Die Regel ist: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(\gamma(u)) \gamma'(u) \, du \end{eqnarray}$ Das ergibt aber wieder: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \, \int_{0}^{\infty } \! \, 3r * e^{-(u)} dud\phi \end{eqnarray*}$ Stimmt das soweit?
25.09.2016, 10:35	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, passt leider immer noch nicht. u' = du/dr = 2r Damit also dr = du/(2r) Dann ist dein nächster Schritt das r² durch u zu ersetzen, was du richtig getan hast. Dann aber folgt der Schritt, dass du dr durch du/(2r) ersetzt. Damit kürzt sich dann das r (Jacobideterminante) und das Problem wird recht simpel. Hier spielt es zwar keine Rolle, aber normal schreibt man die Grenzen bei der Substitution nicht mehr mit, da sich diese normal ändern. Erst wenn man integriert hat, resubstituiert man und setzt die Grenzen ein (bzw. man berücksichtigt bei der Substitution die Grenzen).
Anzeige

25.09.2016, 10:56	Das_asdf_Wort	Auf diesen Beitrag antworten »
dr = du/2r damit ergibt sich $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \, \int_{}^{} \! \, e^{-(u)} rdu/2r d\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \, \int_{}^{} \! \, e^{-(u)} rdu/2r d\phi \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \, \int_{}^{} \! \, (1/2) e^{-(u)} du d\phi \end{eqnarray}$ Die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} (1/2) * e^{-(u)} \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} (1/2) * e^{-(u)} \end{eqnarray}$ Ich nehme an, jetzt resubstituiere ich? $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \, \left[(1/2) * e^{-(r^2)}\right]_{0}^{\infty } d\phi \end{eqnarray}$ Hier sehe ich das Resultat nicht. $\begin{eqnarray} (1/2)* e^{-\infty} - (1/2) e^0 \end{eqnarray}$ Wobei e^0 = 1 ist Also: $\begin{eqnarray} (1/2)* e^{-\infty^2} - (1/2) \end{eqnarray*}$
25.09.2016, 11:00	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Stammfunktion passt nicht. Was passiert mit dem negativen Vorzeichen des Exponenten? Das kommt bei der Integration nach unten. $\begin{eqnarray} \frac12\int e^{-u} = \left[-\frac12e^{-u}\right] \end{eqnarray}$ Ok? e^0 = 1 passt. Was aber passiert wenn du für unendlich sehr hohe Zahlen einsetzt? Der Term wird gegen 0 gehen! Wir haben also also für unser Integral über u (bzw. r) den Wert 1*1/2 = 1/2. Klar? Nun integriere über phi.
25.09.2016, 11:21	Das_asdf_Wort	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar soweit nun integriere ich nach ph, hierbe von 0 bis 2pii: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2pi} \! \frac{1}{2} \, d\phi \end{eqnarray}$ Rein formell, wäre die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\phi \end{eqnarray}$ ? Also -> $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2pi} \! \frac{1}{2} \, d\phi = \left[\frac{1}{2}\phi\right]_{2pi}^{0} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}2\pi - 0\frac{1}{2} = \pi \end{eqnarray}$ Kann das so stimmen?
25.09.2016, 11:52	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, war ne Weile weg. Du hast die Grenzen vertauscht, aber wahrscheinlich nur ein Problem mit Latex? Sonst aber passts .
25.09.2016, 11:57	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht etwas einfacher, wenn man das Gauss-Integral kennt. Also: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \, \int_{-\infty}^{\infty} \! \, e^{-(x^2+y^2)} \dd y \dd x=\int_{-\infty}^{\infty} \! \, e^{-x^2} \int_{-\infty}^{\infty} \! \, e^{-y^2} \dd y \dd x=\sqrt{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \! \, e^{-x^2} \dd x=\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}=\pi \end{eqnarray}$ Dir (und Equester natürlich auch) einen schönen Sonntag.
25.09.2016, 12:01	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathema: Das stimmt natürlich, allerdings führt der einfachste Weg, dies herzuleiten, genau über diese Aufgabe Dir auch einen schönen Sonntag.
25.09.2016, 12:26	Das_asdf_Wort	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu Danke euch für die Hilfe. Ich verstehe jetzt, wie ich das Rezept anwenden muss. Auch die Substitutionsanwendung habe ich nun geschnallt, dank dem Link. Allerdings erschliesst sich mir die Theorie hinter dem folgenden Schritt nicht: $\begin{eqnarray} u = r^2<br /> u'=2r \end{eqnarray}$ Ich verstehe den Zusammenhang nicht, dass $\begin{eqnarray} u' = du/dr \end{eqnarray}$ , respektive $\begin{eqnarray} 2r = du/dr \end{eqnarray}$ ist. Ich weiss jetzt, wie ich es anwende, aber wenn ich jmd erklären muss, wieso ich das so in relation setze, werde ich keine Antwort wissen.
25.09.2016, 12:35	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann solltest du mal hier gucken: https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialoperator

Neue Frage »

Antworten »

Doppelintegral von e-Funktion

Verwandte Themen