Uneigentliches Integral Minorantenkriterium

24.09.2016, 18:11

Müller99

Uneigentliches Integral Minorantenkriterium

Meine Frage:
Hi Leute,

Hab hier mal ne Aufgabe mit der ich nicht zurecht komme. Ich soll folgendes Integral untersuchen.
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{a}^{b} \! \sin(x) \sin(x) /x \, dx<br /> \end{eqnarray*}$
Dabei ist a=0 und b=unendlich

Meine Ideen:
Ich dachte an das Minorantenkriterium.
Allerdings hab ich da Schwierigkeiten mit dem "abschätzen".
Ich hab zb die funktion sin(x)^2/x^2 gefunden die geeignet wäre.
Doch wie soll ich diese Funktion integrieren, das macht die Aufgabe ja leider nicht einfacher :-(
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

25.09.2016, 08:51

willyengland

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Ich bin selbst nur ein Anfänger, habe aber mal drüber nachgedacht.
Zum Integrieren würde ich sagen, dass man das (vielleicht?) mit partieller Integration lösen kann?

Zur Abschätzung der Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} y=sin^2(x) \end{eqnarray*}$ ist ja immer <=1und periodisch.
(Wenn ich richtig gerechnet habe, ist der Mittelwert 1/2.)

Also kann man $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{x}*sin^2(x) \end{eqnarray*}$ annähern durch $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{x}*k \end{eqnarray*}$ mit k < 1.

Und dessen Integral ist bekanntlich k*ln|x| und divergiert.

25.09.2016, 09:13

IfindU

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@willy
Das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac { \sin(x) } x dx \end{eqnarray*}$ existiert aber (im Riemann-Sinne).

Um das Integral hier zu untersuchen bietet es sich an es aufzuteilen in $\begin{eqnarray*} \int_0^1 + \int_1^\infty \end{eqnarray*}$ . Beim letzten kann man partiell integieren.

Alternativ bietet sich hier explizit $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$ an, wo Willys Minorante ins Spiel kommt.

25.09.2016, 09:52

willyengland

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Zitat:

Original von IfindU
@willy
Das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac { \sin(x) } x dx \end{eqnarray*}$ existiert aber (im Riemann-Sinne).

Weil es negative Anteile hat?

25.09.2016, 12:05

IfindU

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Jop. Man braucht sogar, dass der Sinus Mittelwert 0 hat (auf jedem 2pi-langem Intervall).

Dann kann man sich vorstellen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^\infty \frac 1 n \sim \int_1^\infty \frac 1 x d x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^\infty \frac {(-1)^n} n \sim \int_1^\infty \frac {\sin(x)} x d x \end{eqnarray*}$ .

Bitte nichts zu rigoroses unter $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ vorstellen.

Edit:
Ich bin mir übrigens recht sicher, dass
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac { (\sin(x)^2 - \frac 1 2)} x \end{eqnarray*}$ existiert. Das sollte übers partielle integrieren recht leicht zu zeigen sein.

26.09.2016, 10:49

willyengland

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Ich habe hier noch mal eine Frage:

Wie bekommt man $\begin{eqnarray*} \int sin^2(x) dx =\frac {1} {2} x - \frac {1} {4} sin(2x) \end{eqnarray*}$ ?

26.09.2016, 11:07

IfindU

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Man schreibt $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \sin(x) \cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$ und integriert partiell, oder man wendet Additionstheoreme an. Letzteres bietet sich insbesondere an, wenn man es wie rechts vereinfachen will.

26.09.2016, 13:25

willyengland

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Ja!
$\begin{eqnarray*} 1 - cos^2 x \end{eqnarray*}$

Danke! Habs raus.

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