Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen - Seite 2

28.09.2016, 08:59

Guppi12

Zitat:

EDIT: noch schöner ist die Verwendung der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2ab \leq a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} a = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = x \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} 2x \frac 1n \leq \frac 1 {n^2} + x^2 \end{eqnarray*}$ .

Das entspricht übrigens auch meinem Tipp, nur ohne die explizite Erwähnung dieser Ungleichung.

28.09.2016, 10:18

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr.
Aber mein Beitrag zielte darauf ab, dass ich die Supremumsnorm falsch angewendet habe, oder?

Ich habe ja die x-Stellen benutzt. Dabei hätte ich doch die y-Stelln nehmen müssen?

28.09.2016, 11:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von forbin
Aber für die Supremumsnorm muss ich doch dann $\begin{eqnarray*} f(\pm\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ bilden, oder?

Und was hast du da rausbekommen?

28.09.2016, 13:28

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Ich wollte meine formale Falschaussage korrigieren smile

30.09.2016, 16:25

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sitzt immer noch nicht traurig

Bitte helft mir nochmal, ich weiß nicht, woran es immer wieder hapert...

Zu untersuchen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
$\begin{eqnarray*} f_{n}:\mathbb R\rightarrow\mathbb R:f_{n}(x)=nxe^{-nx^{2}} \end{eqnarray*}$
Mit dem Hinweis: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{y\rightarrow\infty}ye^{-y} = 0 \end{eqnarray*}$

Nun: $\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = \frac{-1}{x}(-n)x{^2}e^{-nx^{2}} \rightarrow 0 = f(x) \end{eqnarray*}$
Punktweise konvergent gegen die Nullfunktion.

Nun würde ich gerne mit dem epsilon-Kriterium arbeiten, weil es in Aufgabenteil b gefragt ist (würde ich dann im Anschluss posten).

$\begin{eqnarray*} |nxe^{-nx^{2}} - 0|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Nun gehts schon los verwirrt

Muss ich mit Fallunterscheidungen arbeiten?
Dann wäre der erste Fall ja: n>0
Dann bilde ich:
$\begin{eqnarray*} nxe^{-nx^{2}} < \epsilon \\ <=> nx <\epsilon \\ <=> n<\frac{\epsilon}{x} \end{eqnarray*}$
Auf die Abschätzung komme ich, da $\begin{eqnarray*} -nx^{2}<0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} e^{-nx^{2}} <1 \end{eqnarray*}$

Da das x nicht wegfällt, ist die FOlge nicht gleichmäßig konvergent

30.09.2016, 16:38

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von forbin
Nun würde ich gerne mit dem epsilon-Kriterium arbeiten, weil es in Aufgabenteil b gefragt ist (würde ich dann im Anschluss posten).

Da würde ich gerne mal den kompletten Aufgabentext sehen.

Im Grunde mußt du ja nun das Supremum von $\begin{eqnarray*} |nxe^{-nx^{2}} - 0| \end{eqnarray*}$ bestimmen.

30.09.2016, 16:41

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Supremum hat es auch geklappt, allerdings ist in der Aufgabe das epsilon-Kriterium genannt (da in Grundlagenkapitel).

P.S.: Habe den letzten Post auf Seite 3 noch um einen weiteren Punkt ergänzt.

30.09.2016, 17:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von forbin
Dann bilde ich:
$\begin{eqnarray*} nxe^{-nx^{2}} < \epsilon \\ <=> nx <\epsilon \\ <=> n<\frac{\epsilon}{x} \end{eqnarray*}$

Hier müßte es erst mal heißen: $\begin{eqnarray*} |nxe^{-nx^{2}}| < \epsilon \Leftarrow n|x| <\epsilon \end{eqnarray*}$

Außerdem mußt du ja folgendes zeigen: es gibt ein Epsilon > 0, so daß für alle N_0 ein n > N_0 und ein x gibt mit $\begin{eqnarray*} |nxe^{-nx^{2}}| > \epsilon \end{eqnarray*}$

30.09.2016, 17:12

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das $\begin{eqnarray*} N_{0} \end{eqnarray*}$ darf doch nicht mehr von x abhängen.
In diesem Fall tut es das aber doch und daher ist es nicht glm. konvergent?

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen - Seite 2

Verwandte Themen