Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
Hallo an alle,

ich habe nun schon so viele Beispiele auch hier im Board gelesen, aber es sitzt leider immer noch nicht.
Könnt ihr mir bei folgender Funktionenfolge auf die Sprünge helfen?

Sei

Nun weiß ich ja, dass diese gegen für und gegen für x=1 konvergiert.
Da diese Grenzfunktion unstetig ist, ist die Funktionenfolge nicht gleichmäßig stetig.
Richtig?

Aber sagen wir mal, der Definitionsbereich sei nun
Nun ist meine Grenzfunktion und damit stetig.
Ok, aber nun muss ich die gleichmäßige Konvergenz noch formal zeigen.
Dazu bilde ich doch
Gut, wenn null rauskommt, ist die Funktionenfolge gleichmäßig stetig. Richtig?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
Du wuerfelst hier alles bunt durcheinander. Gleichmaessige Konvergenz hat mit Stetigkeit erstmal nichts zu tun. Es geht vielmehr darum, dass der Abstand von zur Grenzfunktion unahhaengig von beliebig klein gemacht werden kann, wenn man nur gross genug waehlt. Anschaulich: Du zeichnest um die Grenzfunktion einen -Schlauch. Dann liegt der Graph von fuer grosse immer komplett innerhalb dieses Schlauches. Wende das mal auf Dein Beispiel an und mach eine Skizze dazu.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Aber aus gleichmäßiger Konvergenz der Funktionenfolge folgt doch Stetigkeit der Grenzfunktion?
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Warum auch? Sei irgendeine Funktion. Setze . Dann konvergieren die gleichmaessig gegen .
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob im Eingangspost Infos fehlten, aber das ist aus einem Skript:
Sei ein metrischer Raum und eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die Grenzfunktion konvergieren. Dann ist auch stetig.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist korrekt. Aber nur, wenn die f_n stetig sind und gleichmäßig konvergieren, ist auch die Grenzfunktion f stetig. Sind die f_n nicht stetig, können diese trotzdem gleichmäßig konvergieren. Über die Stetigkeit von f kann man aber dann nichts sagen. smile
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
In diesem Beispiel sind die einzelnen ja stetig, aber die Grenzfunktion ist es nicht.
Daraus kann ich doch schonmal sagen, dass die also nicht gleichmäßig konvergieren, obwohl sie stetig sind?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. smile
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke schonmal bis hierher.
Mich bringt dieses Beispiel (weil ich es schon so oft gesehen habe, aber es immer noch nicht richtig sitzt) durcheinander, deshalb würde ich gerne mal eine komplette Aufgabe machen, mit eurer Hilfe.

Sei

Nun schaue ich erst mal nach der punktweisen Konvergenz:


Dies sollte also nun meine Grenzfunktion sein?
Stimmt das bisher?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr.

Nun schaue ich bei der gleichmäßigen Konvergenz:


So?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin


Abgesehen davon, daß dieser Ausdruck falsch ist, hat das nichts mit gleichmäßiger Konvergenz zu tun, sondern das ist wieder nur punktweise Konvergenz. Für gleichmäßige Konvergenz mußt du das Verhalten von untersuchen.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Dann weiß ich einfach nichtt weiter unglücklich
Was muss denn nun mein nächster Ansatz sein?
Und was ist an meinem Ausdruck falsch? fehlt "sup"?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Und was ist an meinem Ausdruck falsch? fehlt "sup"?

Genau.

Man kann ja leicht etwas umformen:
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber auch das geht doch gegen 0, wenn ich den Grenzwert bilde ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du mußt erst die Norm bilden und dann davon n gegen unendlich gehen lassen.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Supremumsnorm, richtig?
Das wäre ja unendlich.
?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Es sei denn, du schränkst die Funktionenfolge auf ein endliches Intervall ein. Augenzwinkern
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Puh...
Ok, da das in meinem Falle also unendlich ist und damit nicht null, ist die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Freude (Trotzdem ist die Grenzfunktion stetig.)
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wo scheitert es dann?
Denn wenn die Grenzfunktion stetig ist folgt doch daraus, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn alle f_n stetig sind?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du verdrehst da etwas. Wenn die f_n stetig sind und gleichmäßig konvergieren, dann ist die Grenzfunktion stetig. Nicht umgekehrt!
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.
Ich möchte es nochmal mit einem anderen Beispiel vertiefen.

Sei

Punktweise Konvergenz:


Also punktweise konvergent gegen .

Nun widme ich mich der gleichmäßigen Konvergenz und bilde dazu zuerst:


Hier weiß ich leider nicht weiter.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Punktweise Konvergenz:


Diese Umformung würde für mich größeren Sinn machen:



Möglicherweise hilft das auch bei der Supremums-Norm. smile
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Komme nicht weiter unglücklich



Jetzt weiß ich gerade nicht weiter.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt ist erst mal:


Mir fällt jetzt adhoc kein guter Trick ein, aber prinzipiell kann man für x >= 0 das Extremum von bestimmen.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würde ich es denn sinnvoller bestimmen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Mit den Mitteln der Differentialrechnung läßt sich das Extremum von bestimmen. Leider muß ich mich jetzt ausklinken und kann es nicht selbst rechnen, was dabei rumkommt.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir sehr für die Hilfe, aber ich komme leider auch nicht weiter.
Wenn du nochmal Zeit hast, wäre es schön, wenn du hier nochmal reinschaust smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mir fällt jetzt adhoc kein guter Trick ein, aber prinzipiell kann man für x >= 0 das Extremum von bestimmen.


Hi, wenn ich da kurz einen Tipp einwerfen dürfte, ich hoffe, es stört nicht.

Wenn man sich noch ein aus dem Vorfaktor spendiert, kann man stattdessen das Supremum von bestimmen. Dafür kann man zum Beispiel die Ungleichung betrachten.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, das führt doch weiter hinaus, als ich dachte.
Ist es leichter, das mit epsilon-delta zu lösen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Puh, das führt doch weiter hinaus, als ich dachte.


Eigentlich tut es das nicht, du hast jetzt zwei recht einfache Methoden, eine obere Schranke für den Term zu bestimmen.

- Mit Hilfe der Differentialrechnung das Maximum von bestimmen, ich sehe nicht, inwiefern das weit hinaus führt?

- Die Ungleichung, die ich dir vorgesetzt habe, zu untersuchen, z.B. ausmultiplizieren. Das Schwierige an diesem Weg ist eigentlich nur, auf diese Ungleichung zu kommen und das musstest du ja garnicht.

Könntest du ausführen, wo dir diese zwei Wege zu umständlich sind?

Du kannst das auch direkt mit machen, das wird aber sicherlich nicht einfacher, sondern umständlicher.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ich hatte den Zusammenhang nicht gesehen Hammer

Habe die Extrema raus. Hochpunkt bei und Tiefpunkt bei
ist damit die Supremumsnorm.

Damit habe ich ja:

Und damit gleichmäßige Konvergenz?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Extremstellen sind richtig, die Supremumsnorm nicht, rechne da nochmal nach.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte es befürchtet.
Muss es sein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein auch nicht. Konzentriere dich, das ist nur Bruchrechnung.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ich glaube, ich bin bei den vielen Ausdrücken durcheinander gekommen.
Da ich ja nun die Extrema meiner Ausgangsfunktion berechnet habe, komme ich also auf:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Unter der Voraussetzung, daß die Extremstellen richtig sind (ich verlasse mich auf Guppi12), paßt das. smile

EDIT: noch schöner ist die Verwendung der Ungleichung . Mit und ergibt sich .

Danke an dieser Stelle an Ifindu. Prost
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt Ich glaube ich habe einen Fehler bei meinen Ausführungen gefunden.
Die Extremstellen sind .
Aber für die Supremumsnorm muss ich doch dann bilden, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, wegen des Betrages ist f(-x) = f(x) und somit reicht es, wenn du die Funktion nur für x >= 0 betrachtest. Aber wie du in meinem letzten Beitrag siehst, kann man auch den Bruch relativ simpel nach oben abschätzen. smile
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