Norm berechnen bei gegebenem Skalarprodukt

25.09.2016, 20:03

wgedda

Norm berechnen bei gegebenem Skalarprodukt

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem... Es geht eigentlich darum eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$ zu berechnen, also dem Vektorraum der reellen Polynome mit Grad kleiner/gleich 2. Ich will das mal etwas abkürzen, das Gram-Schmidt-Verfahren ist mir grundsätzlich bekannt und komme für Vektorräume wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ auch damit klar.

Gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} p=p_2x^2+p_1x+p_0 \end{eqnarray*}$ steht in Aufgabenteil 1, ich weiß nicht, ob das relevant ist
$\begin{eqnarray*} q=q_2x^2+q_1x+q_0 \end{eqnarray*}$ steht in Aufgabenteil 1, ich weiß nicht, ob das relevant ist
Skalarprodukt: $\begin{eqnarray*} \langle p,q\rangle = \int_0^1 p(x)q(x) dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p,q\in\mathbb{R}_{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$
Basis: $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=(1,x,x^2) \end{eqnarray*}$ Basisvektoren im weiteren als $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Meine Ideen:
So, fangen wir mal einfach an ( $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ sollen die Vektoren der ONB sein):
$\begin{eqnarray*} w_1=\frac{v_1}{||v_1||} \end{eqnarray*}$

Das entspricht
$\begin{eqnarray*} w_1=\frac{1}{\sqrt{\langle 1,1\rangle}} \end{eqnarray*}$

Und da hapert es dann etwas: Muss ich die $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ in der Definition des Skalarprodukts durch die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ersetzen? Im Endeffekt also nur das $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} q_0 \end{eqnarray*}$ ?
Dann stünde dort ja $\begin{eqnarray*} w_1= \int_0^1 1*1 dx \end{eqnarray*}$ und somit wäre $\begin{eqnarray*} w_1=1x \end{eqnarray*}$ oder ist es nur 1?

Ich verstehe noch nicht so genau, wie ich mir das Einsetzen in das Skalarprodukt vorzustellen habe. Sonst hat man ja meist eine Basis aus z. B. 3 Vektoren mit je 3 Einträgen für den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Zudem verwirrt mich das "(x)"...

25.09.2016, 22:19

Elvis

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Das bestimmte Integral hat den Wert 1
Skalarprodukt reeller Vektoren ist stets reell. Norm reeller Vektoren ist stets reell und nichtnegativ.
(Skalarprodukt komplexer Vektoren ist stets komplex. Norm komplexer Vektoren ist stets reell und nichtnegativ.)

26.09.2016, 23:24

wgedda

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Zitat:

Original von Elvis
Das bestimmte Integral hat den Wert 1

Ok, danke. Wäre 1x dann das unbestimmte Integral? Also sozusagen F(x)=1x. Will ich dann das bestimmte Integral haben ist das F(1)-F(0)=1-0=1???
Kann mir nochmal jemand erklären, wie man auf die 1 fürs bestimmte Integral kommt?

27.09.2016, 09:00

klarsoweit

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RE: Norm berechnen bei gegebenem Skalarprodukt
Ich verstehe jetzt die Frage nicht.

Für $\begin{eqnarray*} \langle 1,1\rangle \end{eqnarray*}$ mußt du das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 1*1 dx \end{eqnarray*}$ bestimmen und das ist offensichtlich gleich 1.

Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} w_1=\frac{1}{\sqrt{\langle 1,1\rangle}} \end{eqnarray*}$ und nicht:

Zitat:

Original von wgedda
Dann stünde dort ja $\begin{eqnarray*} w_1= \int_0^1 1*1 dx \end{eqnarray*}$

27.09.2016, 11:58

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! 1 \, dx=x|_0^1=1-0=1 \end{eqnarray*}$
gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung,
weil $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, denn es ist $\begin{eqnarray*} x'=\frac {dx}{dx}=1 \end{eqnarray*}$ .

27.09.2016, 12:33

wgedda

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RE: Norm berechnen bei gegebenem Skalarprodukt

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich verstehe jetzt die Frage nicht.

Für $\begin{eqnarray*} \langle 1,1\rangle \end{eqnarray*}$ mußt du das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 1*1 dx \end{eqnarray*}$ bestimmen und das ist offensichtlich gleich 1.

Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} w_1=\frac{1}{\sqrt{\langle 1,1\rangle}} \end{eqnarray*}$

Ja, klar, mein Fehler. $\begin{eqnarray*} w_1= \frac{1}{\sqrt{\int_0^1 1*1 dx}}= \frac{1}{\sqrt{1}}=1 \end{eqnarray*}$

Ich versuche es mal anders: Angenommen ich habe $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ als ersten Basisvektor (bezeichnet man das überhaupt als Vektor?). Dafür muss ich dann unter anderem $\begin{eqnarray*} \langle x^2,x^2\rangle \end{eqnarray*}$ bestimmen. Was ist das dann? Ich vermute $\begin{eqnarray*} \langle x^2,x^2\rangle = \int_0^1 x^2*x^2 dx=\int_0^1 x^4 dx=\frac{1}{5}x^5\mathop{\big|}\limits_0^1=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Ich weiß halt nicht so genau, was ich z. B. für das $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ aus der Definition des Skalarprodukts einsetzen soll, wie muss man sich das überlegen?

27.09.2016, 12:43

klarsoweit

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RE: Norm berechnen bei gegebenem Skalarprodukt

Zitat:

Original von wgedda
Ich versuche es mal anders: Angenommen ich habe $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ als ersten Basisvektor (bezeichnet man das überhaupt als Vektor?).

Genauer gesagt ist das Polynom p mit p(x) := x² ein Vektor aus dem Vektorraum der Polynome.

Zitat:

Original von wgedda
Ich weiß halt nicht so genau, was ich z. B. für das $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ aus der Definition des Skalarprodukts einsetzen soll, wie muss man sich das überlegen?

Da muß man sich nichts überlegen, sondern einfach für das Skalarprodukt <p, q> das Produkt p*q integrieren, wobei p und q irgendwelche Polynome sind.

27.09.2016, 18:26

Elvis

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$\begin{eqnarray*} <x^2,x^2>=\frac 1 5 \end{eqnarray*}$ stimmt genau, und die Berechnung ist perfekt.
Jetzt musst Du nur noch den Gram-Schmidt-Algorithmus benutzen, um ausgehend von der Basis $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray*}$ eine ONB zu berechnen.

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