Berechnung möglicher Team-Zusammenstellung mit komplexen Randbedingungen

Neue Frage »

TheFiddler Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung möglicher Team-Zusammenstellung mit komplexen Randbedingungen
Meine Frage:
Hallo lieber Statistiker & Stochastiker,

ich habe folgende Problemstellung, die ich auf eigene Faust einfach nicht berechnet bekomme:

1)
Es gibt 9 verschiedene Figuren-Typen (nennen wir sie A,B,C,D,E,F,G,H,I), aus denen ein Team gebildet werden soll.
Das Team hat genau 9 freie Plätze und die Anordnung (also ob z.B. Figur A auf Platz1 oder 2 steht) ist dabei egal.

Außerdem sind die Figuren-Typen in 3 Gruppen eingeteilt:
Gruppe1 = A,B und C
Gruppe2 = D,E und F
Gruppe3 = G,H und I
Von jeder Gruppe muss mindestens 1 Figur im Team sein.

Außerdem darf jeder Figuren Typ auch mehrmals im Team vorkommen (z.B. doppelt, dreifach, also bis zu 7 Mal, wegen der "Gruppen-Regel").

Es soll berechnet werden wieviele mögliche Team-Zusammenstellungen unter diesen Randbedingungen möglich sind.


Außerdem hat die Aufgabe einen zweiten Teil:

2)
Zusätzlich zu den bekannten Randbedingungen gibt es nun auch noch 8 verschiedene Farben. Jede Figur kann frei wählbar eine dieser Farben haben. Ein Team könnte also alle Farben enthalten oder im Extremfall komplett einfarbig sein.
Bei mehreren gleichen Figuren-Typen im Team (z.B. 2 Mal A), müssen diese NICHT die gleiche Farbe haben (z.B. "A gelb" und "A blau" sind im selben Team möglich).

Wieviele Möglichkeiten gibt es nun unter Berücksichtigung der Farben das Team zusammen zu stellen?



Zu allem Überfluss gibt es auch noch einen dritten Aufgabenteil:

3)
Zusätzlich ist es jetzt noch möglich, genau 3 der 9 Team-Mitgleider mit dem Status "Chef" zu versehen (d.h. es gibt jetzt einen Unterschied zwischen "A gelb" und "A gelb Chef", diese beiden Beispiele dürften aber problemlos im selben Team vorkommen).
Zu den "Chefs" gibt es keine weiteren Einschränkungen, es dürften sogar 3 Chefs mit identischem Figuren-Typ und identischer Farbe im Team sein.

Wieviele Möglichkeiten gibt es nun unter Berücksichtigung der 3 "Chefs" das Team zusammen zu stellen?


Ich denke, die Aufgabe ist aufgrund der vielen Randbedinungen sehr komplex, aber ich hoffe trotzdem, dass jemand die Herausforderung meistert smile


Herzliche Grüße und vielen Dank im Voraus für eure Lösungen!

Meine Ideen:
Ich vermute, dass das Ergebnis aus dem ersten Teil der Aufgabe einfach mit 8^9 zu multiplizieren ist, um auf das Ergebnis von Teil2 zu kommen, da eine Auswahl von 8 Farben auf 9 freien Plätzen möglich ist.
Allerdings habe ich derzeit keinerlei Ansatz, wie Teil 1 unter Einbeziehung der "Gruppen-Regel" berechnet werden könnte.
TheFiddler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung möglicher Team-Zusammenstellung mit komplexen Randbedingungen
Nachdem ich etwas Zeit hatte, mich mit der Thematik zu beschäftigen, denke ich zumindest die Lösung des ersten Aufgabenteils zu haben:

Mögliche Team-Kombinationen ohne Berücksichtigung der Gruppenregel:

k = Freie Plätze (also 9)
n = Figurentypen (hier 9)

(n+k-1)!/((n-1)!*k!) = 17!/(8!*9!) = 24310

Möglichkeiten ein "verbotenes Team" aus nur 2 Gruppen zu bilden:

k = 9
n = 6

14!/(5!*9!) = 2002
nun das Ganze 3 Mal (aus Gruppe 1+2, Gruppe 2+3, Gruppe 1+3) = 6006

24310 - 6006 = 18304


Möglichkeiten ein "verbotenes" Team" aus einer einzigen Gruppe zu bilden (müssen wieder addiert werden, da sie oben doppelt abgezogen wurden):

k = 9
n = 3

11!/(2!*9!) = 55
nun das Ganze 3 Mal (für Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3) = 165

18304 + 165 = 18469


So, ich hoffe das stimmt soweit.
Wie bekomme ich jetzt noch die Farben unter? Hammer
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »