Ungleichung Seitenlängen eines Dreiecks

26.09.2016, 13:59

datAnke

Ungleichung Seitenlängen eines Dreiecks

Hallo
Seinen a,b,c >0 und die Seitenlängen eines Dreiecks

$\begin{eqnarray*} W(a,b,c)=a^3b+b^3c+c^3a-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2 \end{eqnarray*}$

z.z $\begin{eqnarray*} W(a,b,c) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Hinweise: Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittelwert
Variablensubstitution mit
$\begin{eqnarray*} a := x + y , b := y + z, c := z + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+y)^3*(y+z)+(y+z)^3*(z+x)+(z+x)^3*(x+y)-(x+y)^2*(y+z)^2-(y+z)^2*(z+x)^2-(z+x)^2*(x+y)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mal "Onkel Wolfram" gefragt, damit ich mich nicht noch verrechne. smile

$\begin{eqnarray*} 2 x^3 z-2 x^2 y z+2 x y^3-2 x y^2 z-2 x y z^2+2 y z^3\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3z+xy^3+yz^3 \geq xyz(x^2+y^2+z^2) \end{eqnarray*}$

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittelwert

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=x^3z, x_2=xy^3, x_3=yz^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \sqrt[3]{x^3y \cdot xy^3 \cdot yz^3} \geq xyz(x^2+y^2+z^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\cdot x^{\frac{1}{3} }\cdot y^{\frac{1}{3} }\cdot z^{\frac{1}{3} } \geq x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$

sieht ja schon mal schön aus, aber wie geht es weiter? verwirrt

danke schon mal dat Anke

26.09.2016, 16:00

HAL 9000

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Eine erste Anmerkung: AMGM allein wird nicht reichen, es werden auf jeden Fall noch irgendwo die Dreiecksungleichungen einfließen.

So ist z.B. $\begin{align*} W(a,b,0) = a^3b-a^2b^2 = a^2b(a-b) \end{align*}$ , d.h., die Behauptung erfordert $\begin{align*} a\geq b \end{align*}$ . Was aber ja auch erfüllt ist im (entarteten) Dreieck mit $\begin{align*} c=0 \end{align*}$ , denn dort ist zwingend $\begin{align*} a=b \end{align*}$ .

EDIT: Ok, ich hätte mal weiterlesen sollen. Diese Substitution

Zitat:

Original von datAnke
$\begin{eqnarray*} a := x + y , b := y + z, c := z + x \end{eqnarray*}$

bringt natürlich hintenrum die Dreiecksungleichung ins Spiel, indem man Nichtnegativität von $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ fordert. Augenzwinkern

Mit $\begin{align*} s=\frac{a+b+c}{2} \end{align*}$ ist hiermit nämlich $\begin{align*} x=s-b,y=s-c,z=s-a \end{align*}$ .

Hinweis: Es ist mit AMGM

$\begin{align*} \frac{4x^3z + 2xy^3 + yz^3}{7} = \frac{x^3z + x^3z + x^3z + x^3z + xy^3 + xy^3 + yz^3}{7}\geq \sqrt[7]{(x^3z)^4(xy^3)^2(yz^3)} = \sqrt[7]{x^{14}y^7z^7} = x^2yz \end{align*}$ ,

und dann zyklisch vertauscht die anderen beiden ebenso.

26.09.2016, 17:38

Thorwald

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Hmh

bräuchte man auf der rechten Seite am Ende nicht eher

$\begin{eqnarray*} x^3yz \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x^2yz \end{eqnarray*}$

damit das Ganze aufgeht?

26.09.2016, 17:51

mYthos

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Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil das Ganze dann 5-dimensional anstatt 4- ist.

26.09.2016, 18:15

Thorwald

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Zitat:

Original von mYthos
Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil das Ganze dann 5-dimensional anstatt 4- ist.

Ja, stimmt!
Bei genauerer Betrachtung sieht man auch, dass die zweite Zeile im Zitat unten schon nicht passt, was mich zu meiner obsoleten Frage oben veranlasst hat.

Zitat:

Original von datAnke

Dann habe ich mal "Onkel Wolfram" gefragt, damit ich mich nicht noch verrechne. smile

$\begin{eqnarray*} 2 x^3 z-2 x^2 y z+2 x y^3-2 x y^2 z-2 x y z^2+2 y z^3\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3z+xy^3+yz^3 \geq xyz(x^2+y^2+z^2) \end{eqnarray*}$

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