Einheitsvektor drehen

26.09.2016, 16:47	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitsvektor drehen Hallo, Wenn ich einen Vektor v der Länge 1 ( $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_2=1 \end{eqnarray}$ ) im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^k \end{eqnarray}$ habe kann ich diesen dann durch eine Drehung (sprich orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ ) auf einen Einheitsvektor ( $\begin{eqnarray} e_i =(0,.,0,1,0,.0) \end{eqnarray}$ ) abbilden ( $\begin{eqnarray} Ov=e_i \end{eqnarray}$ )? Woher weiß ich ob solch eine orthogonale Matrix existiert? Ich weiß orthogonale Matrizen sind dadurch charakterisiert längenerhaltend zu sein, bzw Orthogonalbasen auf Ortogonalsysteme abzubilden. Ich brauche nur die Existenz nicht die genaue Darstellung. LG, MaGi
26.09.2016, 17:09	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eine solche Matrix existiert immer. Nimm eine Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} (v, v_2, ..., v_k) \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb R^k \end{eqnarray}$ . Die Matrix $\begin{eqnarray} A:=(v_2, ..., v_i, v, v_{i+1}, ..., v_k) \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ steht also an der i-ten Stelle) ist dann orthogonal und es gilt $\begin{eqnarray} Ae_i=v \end{eqnarray}$ . Also ist auch $\begin{eqnarray} O:=A^{-1}=A^T \end{eqnarray}$ orthogonal mit $\begin{eqnarray} Ov=e_i \end{eqnarray}$ .
26.09.2016, 17:20	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das habe ich verstanden. Ich hätte noch eine Frage in dem Zusammenhang. Q sei eine orthogonale Projektion auf das orthogonale Komplement von v. O sei die von dir definierte Matrix, die z.B $\begin{eqnarray} O v= e_k \end{eqnarray}$ erfüllt. So ist dann $\begin{eqnarray} O^t Q O \end{eqnarray}$ eine Projektion da $\begin{eqnarray} (O^t Q O)(O^t Q O)=O^t QQ O= O^t QO \end{eqnarray}$ aber warum setzt diese Projektion die letzte Koordinate auf 0?
26.09.2016, 17:27	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer behauptet denn, dass es so wäre?
26.09.2016, 18:38	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Konkret geht es um die asymptotische Verteilung der Pearson Prüfgröße beim Chi-Quadrat-Anpassungstest. Dazu müsste ich aber eine Stunde Vorlesung abtippen. In Kurzform wo ich konkret stecke: ---- Sei $\begin{eqnarray} f(y)= \sum_{i=1}^k y_j^2, f: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine gegebene Abbildung. $\begin{eqnarray} Z \sim \mathcal{N} (0, \Sigma ) \end{eqnarray}$ ein normalverteilter Zufallsvektor wobei die Kovarianzenmatrix folgendermaßen aussieht: $\begin{eqnarray} (\Sigma)_{ij}:= 1- p_j \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\Sigma)_{ij} := - \sqrt{p_i p_j } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \not= j \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} p_j \end{eqnarray}$ addieren sich zu 1 auf also $\begin{eqnarray} p_1+..+p_k=1 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} e:=(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2},..,\sqrt{p_k}) \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \|\|e\|\|=1 \end{eqnarray}$ ) So ist die Kovarianzmatris $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ von der Form: $\begin{eqnarray} \Sigma= I - <e,.>e \end{eqnarray}$ also beschreibt die Matrix die orthogonale Projektion auf das orthogonale Komplement von e. Wähle deine Orthogonale Matrix O sodass: $\begin{eqnarray} O e_k=e \end{eqnarray}$ (Fehler ausgebessert von vorher) --- Wie schauen uns nun einen Standartnormalverteilten Zufallsvektor $\begin{eqnarray} S \sim \mathcal{N}(0,I) \end{eqnarray}$ an, auf diesen wenden wir die orthogonale Matrix O an $\begin{eqnarray} OS=:T \sim \mathcal{N} (0,1) \end{eqnarray}$ (unter Drehung bleibt es normalverteilt) Auf dieses T wenden wir dann die orthogonale Projektion an $\begin{eqnarray} \SigmaT =Z \sim \mathcal{N} (0, \Sigma) \end{eqnarray}$ .( Die Verteilung folgt aus der Transformationsformel für Zufallsvektoren) Nun ist eine orthogonale Matrix längenerhaltend $\begin{eqnarray} \|\|Z\|\|^2=\|\|O^TZ\|\|= \|\|O^t \Sigma O \tilde{Z}\|\| \end{eqnarray}$ daher haben wir $\begin{eqnarray} f(Z)= \sum_{j=1}^k Z_j^2= \sum_{j=1}^k (O^t \Sigma OS)_j^2 \end{eqnarray}$ (da $\begin{eqnarray} Z= \SigmaT=\SigmaOS \end{eqnarray}$ ) Nun steht , dass die Projektion $\begin{eqnarray} O^t \Sigma O \end{eqnarray}$ die letzte Koordiante auf 0 setzt uns sonst nicht anderes macht und deshalb wird die rechnung oben fortgesetzt: $\begin{eqnarray} f(Z)= \sum_{j=1}^{k-1} S_j^2 \end{eqnarray}$ was ich nicht verstehe..
26.09.2016, 19:17	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleich vorweg: Ich habe wenig bis keine Ahnung von Chi-Quadrat-Test, Pearson-Prüfgröße oder überhaupt Statistik. Falls sich jemand findet, der mehr davon versteht, kann er gerne weiterhelfen. Ich habe mal eine Skizze gemacht. Die letzte Koordinate von $\begin{eqnarray} O'QOv \end{eqnarray}$ ist da auf jeden Fall nicht 0. (Ich habe da mit $\begin{eqnarray} O' \end{eqnarray}$ die Transponierte von $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ bezeichnet.) [attach]42655[/attach]
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26.09.2016, 19:36	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe, du hast mir schon jetzt sehr viel weitergeholfen! Ich hab einen Fehler entdeckt, wahrscheinlich falsch von der Tafel abgeschrieben! Wir wählen die orthogonale Matrix O sodass $\begin{eqnarray} O e_k=e \end{eqnarray}$ und nicht andersrum! Also ist das O das A, was du in deinen zweiten Beitrag definiert hast! ( $\begin{eqnarray} A:= (v_2,..,v_k,e) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} (e,v_2,..,v_k) \end{eqnarray}$ eine ON-Basis in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^k \end{eqnarray}$ beschreibt. Dann stimmt es auch, denn: $\begin{eqnarray} O^t \Sigma O e_k= O^t \Sigma e= O^t 0=0 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \Sigma e=e- <e,e>e=0 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} 1 \le i \le k-1, i\not=k \end{eqnarray}$ erhalten wir $\begin{eqnarray} O^t \Sigma O e_i= O^t \Sigma v_{i+1}= O^t v_{i+1}=e_i \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} v_{i+1} \end{eqnarray}$ im orthogonalen Komplement von $\begin{eqnarray} <e> \end{eqnarray}$ steckt und die orthogonale Projektion darauf nichts macht.

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