Vollständige Induktion: Gleichung mit Fakultäten

26.09.2016, 17:01

Mandarinchen

Vollständige Induktion: Gleichung mit Fakultäten

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

Ich habe kürzlich mein Studium begonnen und stiess nun auf diese Aufgabe, wo ich eine Gleichung mit Fakultät lösen muss.
Es geht um die vollständige Induktion und die Aufgabenstellung lautet folgendermassen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n} \begin{pmatrix} k \\ 2\end{pmatrix} = \frac{n}{6}(n^{2}-1), n\geq 2 \end{eqnarray*}$
Die Induktionsverankerung war kein Problem, den Induktionsschritt habe ich auch hinbekommen. Ich schaffe es aber einfach nicht, die Gleichung (den Beweis) aufzulösen.

Meine Ideen:
Dies ist die Gleichung, die ich gefunden habe (sollte eigentlich richtig sein ): $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n+1} \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=2}^{n} \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und habe etliche Male versucht, sie aufzulösen, komme aber irgendwann nicht weiter, da ich nicht weiss, wie ich die Fakultäten auflösen kann. Soweit bin ich gekommen: $\begin{eqnarray*} n(n^{2}+3n+2)=n(n^{2}-1)+3\frac{n!(n+1)}{n!(n+1)-2} \end{eqnarray*}$
Aber nun weiss ich nicht mehr weiter. Vielleicht gibt es auch einen anderen Weg, diese Behauptung zu beweisen? Ich würde mich sehr über Hilfe freuen! smile

26.09.2016, 17:09

tatmas

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Hallo,

du hast einen Tippfehler drin, es muss $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (also 2 statt k.) und dieser Binomialkoeffizient ist gleich 1/2 * n(n+1).
Ferner gilt (n²-1)=(n+1)(n-1).

Hilft das weiter?

26.09.2016, 19:54

Gast23493489

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Danke für deine Antwort! smile

Upps, ja, da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen, den Term habe ich in meinen Notizen aber richtig. Du meinst, dass ich den Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} n(n+1) \end{eqnarray*}$ umformen kann? Gibt es dafür irgendeine Regel, von der ich noch nichts gehört habe? geschockt

Ich habe mal versucht, die Gleichung mit dieser Umformung zu lösen, aber es hat leider nicht funktioniert, vielleicht habe ich dich ja auch falsch verstanden...

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

27.09.2016, 01:58

tatmas

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Zitat:

Gibt es dafür irgendeine Regel, von der ich noch nichts gehört habe?

Die Definition des Binomialkoeffizienten, mehr braucht es nicht.

Was du jetzt noch zeigen musst ist(!)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} (n-1)n(n+1) +\frac{1}{2} n(n+1) = \frac{1}{6} (n+1)n(n+2) \end{eqnarray*}$

27.09.2016, 15:13

Mandarinchen

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Super, das funktionierte, ich konnte die Gleichung beweisen Freude

Vielen lieben Dank für deine Hilfe, tatmas! smile

27.09.2016, 15:46

HAL 9000

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Eine Ergänzung: Mit Binomialkoeffizienten lässt sich die Behauptung als

$\begin{align*} \sum\limits_{k=2}^n \binom{k}{2} = \binom{n+1}{3},\qquad n\geq 2 \end{align*}$

schreiben, und ist als solches Spezialfall m=2 der allgemeineren Behauptung

$\begin{align*} \sum\limits_{k=m}^n \binom{k}{m} = \binom{n+1}{m+1},\qquad n\geq m\geq 0 \end{align*}$ ,

die sich fast ebenso einfach beweisen lässt, unter Zuhilfenahme der Pascaldreieck-Identität $\begin{align*} \binom{n}{m}+\binom{n}{m+1} = \binom{n+1}{m+1} \end{align*}$ im Induktionsschritt.

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