Exponentialmatrix

26.09.2016, 15:49	Derpaderp	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialmatrix Meine Frage: Hey Leute. Ich hab ne Frage zu einer Matrixaufgabe. 4 5 -2 3 -1 -3 -4 1 -2 1 0 0 -1 0 1 Hier ist die Matrix A=-4 -4 2 -3 1 0 0 0 0 -1 Die Jordanform dazu ist -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 J=0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 die Transformationsmatrizen hab ich auch... jetzt wollen sie e^At mit t element aus R wissen. Meine Ideen: ich hätte gesagt e^A = T e^J T^-1 dass kann man auch gut ausrechnen... aber das t dadrinn zerstört mir das ganze... Danke schonmal im vorraus
26.09.2016, 21:31	thx2	Auf diesen Beitrag antworten »
e^(At) = T e^(Jt) T^-1
27.09.2016, 11:49	Derpaderp	Auf diesen Beitrag antworten »
und e^Jt? das müsste ja dann Summe (über k) (Jt)^k/k! = Summe (über k) J^k/k! x t^k sein. und das divergiert dann im Zweifelsfall...
27.09.2016, 12:32	Derpaderp	Auf diesen Beitrag antworten »
ah nein warte. e^Jt = Summe über k von e^t(-E5 + B) (B ist das bisschen was noch übrig bleibt wenn ich E5 rauszieh) = Summe k von t/e x e^tB = .... Das e^tB konnte ich ausrechnen, damit belästige ich dich nicht weiter aber denkst du der Schritt e^t(-E5) = t/e ist korrekt? weil sonst passt das dann eigentlich alles.
27.09.2016, 13:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht meinst du ja das richtige, aber an einigen Stellen kann ich deiner Symbolik nicht folgen, und finde sie stellenweise schon ziemlich befremdlich... Für eine Jordanblockmatrix $\begin{align} J_B = \lambda E + N \end{align}$ der Dimension $\begin{align} d \end{align}$ mit Einheitsmatrix $\begin{align} E \end{align}$ und einer nilpotenten Matrix $\begin{align} N \end{align}$ mit nur Einsen auf einer der Hauptdiagonalen unmittelbar benachtbarten Nebendiagonalen gilt wegen $\begin{align} \exp(\lambda E t) = \exp(\lambda t)E \end{align}$ schließlich $\begin{align} \exp(J_Bt) = \exp(\lambda t) \exp(Nt) = \exp(\lambda t) \sum_{k=0}^{d-1} \frac{N^k}{k!} t^k \end{align}$ , wobei $\begin{align} N^k \end{align}$ weitere nilpotente Matrizen mit 1er-Nebendiagonalen sind, die aber mit wachsendem $\begin{align} k \end{align}$ "nach außen" wandern, und für $\begin{align} k\geq d \end{align}$ gänzlich verschwinden, d.h., zur Nullmatrix werden. In deinem Fall mit $\begin{align} J = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{align}$ haben wir zwei Jordanblöcke, einen mit $\begin{align} d=3 \end{align}$ und den anderen mit $\begin{align} d=2 \end{align}$ , es ist dann $\begin{align} \exp(Jt) = \exp(-t)\cdot \begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 & t & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{align}$ .
27.09.2016, 16:44	Derpaderp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja bis auf den Vorfaktor exp(-t) hab ich diesselbe Matrix raus, und somit auch ein gutes Ergebnis für exp (At) - Danke euch beiden
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