Nabla Operator

26.09.2016, 20:48

1.41

Nabla Operator

Meine Frage:
Hallo Leute, eine standard Physik Aufgabe, wie ich denke, tzdm finde ich keine für mich verständliche Erklärung, weder im Inet noch im Buch..

Bitte um Hilfe!

(Es geht hier jetzt nicht um Physik sondern um den Nabla Operator hauptsächlich..)

Aufgabenstellung:
Gegeben:
-ungeladene Metallplatte, über ihr Ladung q1 in Abstand d

Berechnen sie die induzierte Oberflächenladungsdichte

Hinweis: Verwenden sie Spiegelladung, wo muss diese liegen?..

Verstehe alles bis zum Punkt wo gilt:
$\begin{eqnarray*} E= -\nabla \phi \end{eqnarray*}$

der letzte Punkt den ich checke lautet:
$\begin{eqnarray*} \phi = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} ( \frac{1}{|r-r_1|} - \frac{1}{|r-r_2|} ) \end{eqnarray*}$

dies sollte korrekt sein, steht auch so in der Musterlösung..

Ich bitte nur um die Erklärung, wie dieser Nabla Operator auf phi wirkt..

Außerdem was wir bereits wissen:
r1=-r2
z1=-z2
Q1=-Q2

Mein Problem: wenn ich phi nach x,y,z ableite, kommt bei mir irgendein sch*** raus. d.h. null oder sonst was

Kann mir das jemand bitte einfach erklären, ich hocke seit 3 Stunden an der Aufgabe.

Am Ende sollte dies herauskommen:
$\begin{eqnarray*} \phi = -\frac{Q}{2 \pi \epsilon_0} \frac{z_1}{(x^{2}+y^{2}+z_1^{2})^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
-

27.09.2016, 10:42

Huggy

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RE: Nabla Operator

Zitat:

Original von 1.41
$\begin{eqnarray*} E= -\nabla \phi \end{eqnarray*}$

der letzte Punkt den ich checke lautet:
$\begin{eqnarray*} \phi = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} ( \frac{1}{|r-r_1|} - \frac{1}{|r-r_2|} ) \end{eqnarray*}$

dies sollte korrekt sein, steht auch so in der Musterlösung..

Ich bitte nur um die Erklärung, wie dieser Nabla Operator auf phi wirkt..

Es ist

$\begin{eqnarray*} \nabla \phi (x,y,z)=(\frac {\partial \phi}{\partial x}, \frac {\partial \phi}{\partial y}, \frac {\partial \phi}{\partial z}) \end{eqnarray*}$

Setze in $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein

$\begin{eqnarray*} \vec r =(x,y,z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec r_1=(0,0,z_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec r_2=(0,0,-z_1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mein Problem: wenn ich phi nach x,y,z ableite, kommt bei mir irgendein sch*** raus. d.h. null oder sonst was

Tut es nicht, wenn du richtig ableitest. Es ergibt sich auch zunächst nirgends Null. Offenbar sollst du aber die Feldstärke bei $\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$ betrachten und dort ergibt sich für die Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ tatsächlich Null, was auch vollkommen in Ordnung ist, denn die Feldstärke steht ja senkrecht auf der Platte.

Zitat:

Am Ende sollte dies herauskommen:
$\begin{eqnarray*} \phi = -\frac{Q}{2 \pi \epsilon_0} \frac{z_1}{(x^{2}+y^{2}+z_1^{2})^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Da muss auf der linken Seite nicht $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ stehen, sondern $\begin{eqnarray*} E_z(x, y, z=0) \end{eqnarray*}$ . Und genau das kommt heraus, wenn man $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ partiell nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ableitet und anschließend $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ setzt.

27.09.2016, 11:08

Ehos

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Guck mal bei WIKIPEDIA unter dem Stichwort "Spiegelladung". Dort findest du eine Skizze zu deiner Aufgabe
--------------------------------------------------------------------------
Das Potenzial zweier Ladungen ist die Summe der Potenziale der beiden Einzelladungen, also

$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,0)=\tfrac{1}{4\pi \epsilon} \left ( \tfrac{Q}{|\vec x-\vec x_1|}-\tfrac{(-Q)}{|\vec x-\vec x_2|}\right ) \end{eqnarray*}$

Setze in diese Formel speziell die Orte beider Ladungen ein, also $\begin{eqnarray*} \vec x_1=(0,0,z_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x_2=(0,0,-z_0) \end{eqnarray*}$ . Das ergibt das Potenzial

$\begin{eqnarray*} \phi=\tfrac{1}{4\pi \epsilon} \left ( \tfrac{Q}{|(x,y,z)-(0,0,z-z_0)|}-\tfrac{(-Q)}{|(x,y,z)-(0|0|z-z_0)|} \right )=\tfrac{1}{4\pi \epsilon}\tfrac{2Q}{|(x,y,z-z_0)|}=\tfrac{1}{2\pi \epsilon}\tfrac{Q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0)^2}} \end{eqnarray*}$

Das elektrische Feld E ist bekanntlich der negative Gradient des Potenzials. Innerhalb der xy-Ebene (also bei x=y=0) erhält man das Feld

$\begin{eqnarray*} \vec E(x,y,0)=-\nabla \phi=\tfrac{Q}{2\pi \epsilon}\cdot \tfrac {(0,0,z_0)}{\sqrt{x^2+y^2+z_0^2}^3} \end{eqnarray*}$

29.09.2016, 16:47

1.41

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Vielen Dank für die Antworten, hab die Aufgabe grad nochmal gerechnet und es hat geklappt smile

!
Mein Problem war, dass ich bereits vor dem Ableiten z=0 gesetzt habe, deswegen kam bei mir auch immer 0 raus XD
das soll man natürlich erst nach dem Berechnen des Gradienten von phi machen.
dann kommt auch alles so raus wie ihr das vorgerechnet habt.
danke nochmal für die Mühe Augenzwinkern

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