Jordan-Nullmenge

27.09.2016, 14:30

balance

Jordan-Nullmenge

Huhu,

Ich repetiere gerade das Integrieren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Den Begriff der Nullmenge habe ich schon sehr lange nicht mehr behandelt, daher würde ich gerne wissen, ob meien Idee davon korrekt ist.

Das Mass einer Menge $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ist sein "Inhalt". Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ wäre das der Flächeninhalt, für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ das Volumen. Ist nun dieses Mass null, so ist es eine Nullmenge und spielt bei der Integration keine Rolle. Das ist trivial, da die Definition des Masses ja gerade $\begin{eqnarray*} \mu (Q)=\int_Q \chi_Qd\mu \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} \chi_Q \end{eqnarray*}$ die char. Fkt. von Q ist.

Ist z.B. $\begin{eqnarray*} Q\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} dim(Q)=3 \end{eqnarray*}$ , so ist der Rand von Q aber auch seine Oberfläche eine Nullmenge und das immer - oder?

Ich denke ich kann sagen: Für jede Teilmenge von Q, derren Dimension kleiner ist, ist eine Nullmenge.

Weiter wäre im 3dim Raum ja die leere Menge sicher eine Nullmenge aber auch ein einzelner Punkt. (Dies überlege ich mir so: Haben wir nur einen Punkt zum Integrieren, müssen wir die untere und obere Grenze als diesen Punkt wählen - was logischerweise Null ergiebt, eine wohl etwas wackelige Erklärung, aber es ist ja nur eine Vorstellung)

Jedenfalsl frage ich mich, was es den noch an 3dim-Nullmengen gibt. Kann man sagen, dass ich so das Grundprinzip verstanden habe? Also die Idee aufgreifen konnte?

27.09.2016, 17:41

HAL 9000

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Ein nettes Beispiel für eine überabzählbare Jordan-Nullmenge bereits im eindimensionalen ist die Cantor-Menge. Daraus lassen sich natürlich erst recht auch hübsche Sachen im dreidimensionalen basteln. Augenzwinkern

27.09.2016, 17:45

Dukkha

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RE: Jordan-Nullmenge

Zitat:

Original von balance
Huhu,

Ich repetiere gerade das Integrieren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Den Begriff der Nullmenge habe ich schon sehr lange nicht mehr behandelt, daher würde ich gerne wissen, ob meien Idee davon korrekt ist.

Das Mass einer Menge $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ist sein "Inhalt". Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ wäre das der Flächeninhalt, für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ das Volumen. Ist nun dieses Mass null, so ist es eine Nullmenge und spielt bei der Integration keine Rolle. Das ist trivial, da die Definition des Masses ja gerade $\begin{eqnarray*} \mu (Q)=\int_Q \chi_Qd\mu \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} \chi_Q \end{eqnarray*}$ die char. Fkt. von Q ist.

Ist z.B. $\begin{eqnarray*} Q\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} dim(Q)=3 \end{eqnarray*}$ , so ist der Rand von Q aber auch seine Oberfläche eine Nullmenge und das immer - oder?

Ich denke ich kann sagen: Für jede Teilmenge von Q, derren Dimension kleiner ist, ist eine Nullmenge.

Weiter wäre im 3dim Raum ja die leere Menge sicher eine Nullmenge aber auch ein einzelner Punkt. (Dies überlege ich mir so: Haben wir nur einen Punkt zum Integrieren, müssen wir die untere und obere Grenze als diesen Punkt wählen - was logischerweise Null ergiebt, eine wohl etwas wackelige Erklärung, aber es ist ja nur eine Vorstellung)

Jedenfalsl frage ich mich, was es den noch an 3dim-Nullmengen gibt. Kann man sagen, dass ich so das Grundprinzip verstanden habe? Also die Idee aufgreifen konnte?

Das stimmt fast. Das Jordan-Mass ist aber eigentlich kein wirkliches Mass im Sinne der Masstheorie, sondern ein Inhalt. Falls du noch keine Masstheorie gehabt hast, dann ist die Unterscheidung nicht wichtig.

Deine Definition deines Jordan-Mass ist nicht korrekt. Es stimmt zwar, dass das (Lebesgue)-Integral so definiert ist (bezüglich des Lebesgue-Masses), aber das Jordan-Mass ist nicht über ein Integral definiert. Ich hoffe du verstehst den Unterschied?
Das Jordan-Mass einer Jordan-messbaren Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist definiert als das Supremum einer Inhaltsfunktion $\begin{eqnarray*} \mu^n(]a,b[)=\prod\limits_{j=1}^n(b_j-a_j) \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Hyperrechteckes, welches vollständig deine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ausfüllt. (Wobei bei einer Jordan-messbaren Menge das Supremum=Infimum ist.) Das ist eigentlich schon das ganze Prinzip der Masstheorie. Man möchte eine Menge messen und führt sie auf Intervalle zurück, welchen man schliesslich eine Zahl zuordnet.

Folglich wenn du eine Hyperebene des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ betrachtest, hast du stets $\begin{eqnarray*} \{0\}\times \mathbb{R}^{n-1} \end{eqnarray*}$ und somit ein offener Intervall mit Mass $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Um zu überprüfen ob eine Menge (also z. B. Kurve im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ) eine Nullmenge ist, musst du die Menge mit Hilfe von einfacheren Mengen (Intervalle) schreiben.

Machen wir ein Beispiel: Eine stetige Kurve $\begin{eqnarray*} \Gamma:x\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ kannst du als $\begin{eqnarray*} \Gamma =\bigcup\limits_{n\in\mathbb{Z}}\Gamma\cap [(n,n+1)\times \mathbb{R}] \end{eqnarray*}$ schreiben. Wir haben nun die Kurve mit Hilfe von kleinen "Streifen" $\begin{eqnarray*} [(n,n+1)\times \mathbb{R}] \end{eqnarray*}$ zerlegt. Nun genügt es einen einzelnen Streifen zu betrachten, welchen du dann noch weiter in ein $\begin{eqnarray*} \epsilon\times\delta \end{eqnarray*}$ Quadrat zerlegen kannst. Das $\begin{eqnarray*} \epsilon/\delta \end{eqnarray*}$ kommen von der Stetigkeit und wir können sie beliebig klein machen. Jetzt kannst du dadurch zeigen, dass ein solches Quadrat das Mass $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ haben muss, ergo haben alle Streifen an der Stelle wo sie $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ schneiden das Mass $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \mu(\Gamma)=0 \end{eqnarray*}$

28.09.2016, 15:52

balance

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Danke. Cantor-Menge, ja.. da war doch mal was :p Werd ich nachschlagen.

Danke für den Hinweis. Mir war klar, dases Lebesque und Jordan gibt, aber hab mich nicht im Detail damit beschäftigt da es nicht Inhalt der VL ist. Wir haben jedoch das Jordan-Mass definiert. Jedenfalls ist in unserem Skript das Jordan-Mass über ein integral definiert - evtl. aber auch extra da es in der Vorlesung nicht primär darum geht? Naja, ich schaus mir mal an - denke es wird schon Sinn machen.

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