Vollständige Induktion

27.09.2016, 15:50	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Hallo liebe Leute! Ich checke unten genanten Beispiel gar nicht. Konnte mir bitte jemand helfen und vielleicht ein gutes Lehrbuch/ Internetseite empfehlen, wo ich mehr lernen kann? Ich habe nach 3 Jahre Neuropsychologie mit Mathe im Nebenfach begonnen und habe kleine Schwierigkeiten ... Vielen Dank David
27.09.2016, 16:07	Thorwald	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Hier im Forum findest Du zum Stichwort 'Vollständige Induktion' bereits zahlreiche Beispiele, die teilweise dem hier vorliegenden nicht unähnlich sein dürften. Grundlagen zum Thema findest Du in so gut wie jedem Analysis Lehrbuch (zu meiner Zeit auch in Schulbüchern). Schlussendlich wirst Du bei dieser Aufgabe im Induktionsschritt (n-> n+1) zeigen müssen, dass: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1}k^2{n+1\choose k}=(n+1)(n+2)2^{n-1} \end{eqnarray}$ Dabei wird sich das 'Additionstheorem für Binomialkoeffizienten' $\begin{eqnarray} {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1} \end{eqnarray}$ als nützlich erweisen, um die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen zu können. Außerdem solltest Du mit einer 'Indexverschiebung' vertraut sein.
27.09.2016, 16:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative: Man kann auch alles (mehr oder weniger) geschickt auf die Grundgleichung $\begin{align} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = (1+1)^n = 2^n \end{align}$ zurückführen. Für $\begin{align} 1\leq k\leq n \end{align}$ ist $\begin{align} k\cdot \binom{n}{k} = k\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n\cdot \binom{n-1}{k-1} \end{align}$ , und analog für $\begin{align} 2\leq k\leq n \end{align}$ auch $\begin{align} k(k-1)\cdot \binom{n}{k} = \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!} = n(n-1)\cdot \binom{n-2}{k-2} \end{align}$ . Damit folgt $\begin{align} \sum_{k=0}^n k^2\binom{n}{k} &= \sum_{k=1}^n k\binom{n}{k} + \sum_{k=2}^n k(k-1)\binom{n}{k} = \sum_{k=1}^n n\binom{n-1}{k-1} + \sum_{k=2}^n n(n-1)\binom{n-2}{k-2} = n\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} + n(n-1)\sum_{j=0}^{n-2} \binom{n-2}{j}\\ &= n2^{n-1} + n(n-1)2^{n-2} = n(n+1)2^{n-2} \end{align}$
27.09.2016, 17:41	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antworten! Induktionsanfang und Induktionsschritt hatte ich schon. Ich sehe einfach nicht, wie kann ich vorwärts kommen, ich versuchte k^2 als k+k(k-1) schreiben, dann n+1 bei der Summe durch $\begin{eqnarray} {n+1\choose n+1} \end{eqnarray}$ ersetzen, also +1. Schlussendlich habe ich aber keine Ahnung was kommt weiter. Ich versuche später nochmals

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