surjektiver Gruppenhomomorphismus

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Alexxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
surjektiver Gruppenhomomorphismus
Meine Frage:
Finde einen surjektiven Gruppenhomomorphismus zwischen der symmetrischen Gruppen S4 -> S3

Tipp. Es gibt eine Konjugationsklasse mit nur 3 Elementen.

Meine Ideen:
Die Konjugationsklasse mit genau 3 Elemente von S4 ist die, die alle Doppeltranspositionen enthält und die von S3 ist die, die alle Transpositionen enthält.
Ich weiß, dass die Identität auf die Identität geht. Mein Problem ist, dass ich keine Ahnunghabe wie diese Abbildung aussieht und leider auch nicht weiß, wie ich cen Tipp nutzen kann.

Was ich außerdem weiß ist, dass S4/V4 isomorph zu S3 ist. Hilft mir das irgendwie weiter?

Schon mal danke.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, ich weiß nur nicht, was man mit dem Tipp anfangen soll.
Nachtrag: Vielleicht soll der Tipp auf den Normalteiler hinweisen, denn seine 3 von (1) verschiedenen Elemente sind konjugiert in
Alexxxxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ok schon mal vielen Dank.

Allerdings muss ich ja jetzt immer noch die surjektivität zeigen, von S4->S4/V4.
Des Weiteren muss ich ja dann noch zeigen dass S4/V4 isomorph zu S3 ist.
Und wie sehen die Elemente aus S4/V4 eigentlich aus?

Also zunächt gilt ja =24 > 6 = .
Mein Problem ist ich verstehe nicht wie ich z. B. den Zykel (14) abbilden kann, weil die 4 ja nicht im Bild ist.

Ich möchte ja einen Gruppenhomomorphismus finden, so dass für alle f(a)^-1 mit a S3 ein b S4 existiert.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast geschrieben : "Was ich außerdem weiß ist, dass S4/V4 isomorph zu S3 ist." Jetzt kannst Du also nicht ankommen und sagen, dass das ein offenes Problem für dich ist. Augenzwinkern

ist ein Normalteiler der , also ist die Faktorgruppe eine Gruppe, und die kanonische Projektion ist ein surjektiver Homomorphismus mit Kern ; z.B. ist
Alexxxxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, allerdings verstehe ich dann immer noch nicht ganz was mit
gemeint ist. Denn Sigma ist doch aus S4 oder?
Das würde ja dann bedeuten:
(13) V4 = (13), (24), (1234), (1432) und
(12) V4 = (12), (34), (1324), (13)(24)
(14) V4 = (14), (23), (1243), (132)
Aber das sind ja schon mehr als 6 Elemente. Wahrscheinlich hab ich falsch verstanden. Ich dachte ich würde (14) mit jedem Element aus V4 verknüpfen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Lies die Definition einer Faktorgruppe nach. Eine Faktorgruppe G/N besteht aus Nebenklassen aN mit a in G. Eine Gruppe wird daraus vermöge aNbN:=abN

Jede Nebenklasse besteht aus 4 Elementen. Da spricht nichts dagegen.
 
 
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