Deformationsgradient

28.09.2016, 09:27

Maria92

Deformationsgradient

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich benötige wirklich dringend eure Hilfe. Es geht darum den Deformationsgradienten eines Zylinders aufzustellen. Als Beispiel habe ich die Rechnung für einen Quader als Anhang beigefügt. Dieser wird zusammengedrückt, sodass die Fläche A sich vergrößert und die Höhe b wird kleiner. Das Material wird als inkompressibel angenommen, wodurch die Determinante des Deformationsgradienten 1 ergeben muss. Am Quader kann ich das alles berechnen und stellt kein Problem dar.

Mein Problem liegt darin den Deformationsgradienten für einen flachen Zylinder aufzustellen. Die Zylinderkoordinaten x=r*cos(phi), y=r*sin(phi) und z=z sind mir natürlich bekannt. Dennoch schaffe ich es nicht den richtigen Deformationsgradienten aufzustellen... Ich wäre euch wirklich unglaublich dankbar, wenn ihr mir helfen könntet den Deformationsgradienten für einen Zylinder aufzustellen. Ich bekomme es einfach nicht hin.

Meine Ideen:
Deformationsgradient vom Quader siehe Anhang
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Viele Grüße!

01.10.2016, 20:06

Lampe16

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Das sollte beim Zylinder ähnlich wie beim Quader gehen. Der Deformationsvektor hat nur eine radiale und eine axiale Koordinate. Beide verlaufen linear. Jetzt musst du nur noch den Vektorgradienten des Deformationsvektors in Zylinderkoordinaten bilden. Wie das geht, kannst du z.B. unter http://www.brown.edu/Departments/Enginee...olar_Coords.htm nachlesen. Das Ergebnis dürfte wieder ein Tensor sein, bei dem nur die 3 Diagonalelemente ungleich null sind.

p.s.
Du bist hier in der Abteilung Schulphysik. Um deine Schule mit dem Stoff beneide ich dich.

04.10.2016, 09:59

MariaM92

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schon mal vielen Dank für deine Antwort. Du schreibst 1 radiale und 1 axiale Koordinate. Meinst du damit r und z? Den Winkel darf man doch auch nicht außer Acht lassen oder nicht? Im Anhang habe ich meinen Rechenweg für den Zylinder beigefügt, aber die Determinante wird nicht 1, also ist das wohl wieder falsch... wäre nett wenn du (oder jemand anderes) sagen könntest, wo genau mein Fehler liegt =/ Danke schonmal!
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04.10.2016, 11:24

Lampe16

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Zitat:

Original von MariaM92
Du schreibst 1 radiale und 1 axiale Koordinate. Meinst du damit r und z?

Ja, genau.

Zitat:

Original von MariaM92
Den Winkel darf man doch auch nicht außer Acht lassen oder nicht?]

Doch! Bei der Verformung ergeben sich keine azimutalen Verschiebungen (d. h. in Umfangsrichtung). Das Verschiebungsfeld ist zylindersymmetrisch.
Der Deformationsvektor ist $\begin{eqnarray*} \vec x=\vec e_r r\frac{r_1}{r_0} + \vec e_z z\frac{z_1}{z_0} \end{eqnarray*}$ . Wenn du davon den Gradienten bildest (wie in dem Verweis dargestellt), ergeben sich die drei Diagonalelemente zu $\begin{eqnarray*} r_1/r_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r_1/r_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_1/h_0 \end{eqnarray*}$ . Die anderen 6 Tensorelemente sind gleich null.

04.10.2016, 12:25

Equester

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Hi Maria,
du hast die Accountdaten für Maria92 vergessen und den Account MariaM92 neu aufgemacht?
Wir würden Maria92 dann demnächst löschen.

Danke

04.10.2016, 12:33

MariaM92

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alles klar vielen Dank! Die Begründung leuchtet mir ein und die Determinante ergibt über die Volumenerhalten auch 1, so wie es sein soll. Eine Sache ist mir jedoch noch unklar, und zwar hängt der Deformationsvektor von r und z ab. Das verstehe ich auch aber wie kommt man damit auf eine 3x3 Matrix? Wenn ich den Gradienten des von dir genannten Deformationsvektors bilde, so komme ich auf eine 2x2 Matrix mit $\begin{eqnarray*} r_1/r_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_1/h_0 \end{eqnarray*}$ auf der Hauptdiagonalen, da ich $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ einmal nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und einmal nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ableite.

04.10.2016, 13:21

Lampe16

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Zitat:

Original von MariaM92
... und zwar hängt der Deformationsvektor von r und z ab. Das verstehe ich auch aber wie kommt man damit auf eine 3x3 Matrix?

Bei der Bildung des Gradienten einer vektorwertigen Funktion muss man immer nach allen drei Koordinaten differenzieren, d. h. den vollständigen Formalismus abarbeiten. Erst dadurch geht hier die Information ein, dass die azimutale Koordinate der Deformation gleich null ist. Sie kommt im Tensor sogar unabgeleitet vor. Schau dir den Tensor im Abschnitt 2.8 im Link-Dokument nochmal genau an.

04.10.2016, 14:27

MariaM92

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stimmt klar kommt eine 3x3 Matrix raus. Beim Gradienten leite ich ja in Zylinderkoordinaten partiell nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ab. D.h in Element $\begin{eqnarray*} T_{11} \end{eqnarray*}$ steht die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dr}\vec{x}_r=\frac{r_1}{r_0} \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} T_{33} \end{eqnarray*}$ steht $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dz}\vec{x}_z=\frac{z_1}{z_0} \end{eqnarray*}$ . Jetzt kommt wahscheinlich der Punkt mit der "nur 1 radiale und 1 axiale Komponente", aber im Normalfall müsste man bei $\begin{eqnarray*} T_{22} \end{eqnarray*}$ das machen: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{d\varphi}\vec{x}_{\varphi} \end{eqnarray*}$ ableiten und da im Deformationsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\vec{e}_rr\frac{r_1}{r_0}+\vec{e}_zz\frac{z_1}{z_0} \end{eqnarray*}$ keine $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -Komponente vorhanden ist müsste in dem Eintrag doch eigentlich eine $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ stehen... Du meintest ja dort steht auch ein $\begin{eqnarray*} \frac{r_1}{r_0} \end{eqnarray*}$ Das ist mir noch sehr unklar...wäre sehr nett wenn du mir da noch helfen könntest!

04.10.2016, 15:36

Lampe16

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Zitat:

Original von MariaM92 Du meintest ja dort steht auch ein $\begin{eqnarray*} \frac{r_1}{r_0} \end{eqnarray*}$ Das ist mir noch sehr unklar...wäre sehr nett wenn du mir da noch helfen könntest!

Das Element in der 2. Zeile und 2. Spalte des Tensors heißt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \frac{\partial v_\Theta}{\partial \Theta} +\frac{v_r}{r} \end{eqnarray*}$ . Schau den Tensor in Abschnitt 2.8 nochmal an.

04.10.2016, 15:43

MariaM92

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ja klar hab den Fehler gemacht und den "kartesischen" Gradienten angewendet. Vielen Dank das hat mein Problem gelöst!

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