Stabilisator einer abelschen Gruppe, periodische Funktion

28.09.2016, 09:32	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Stabilisator einer abelschen Gruppe, periodische Funktion Hallo Community, ich habe folgende Frage (die ich in ähnlicher Weise schon in einem anderen Forum gestellt habe, aber leider, ohne dass mir jemand weiterhelfen konnte; vlt. kennt sich unter euch jemand damit aus =) ). Gegeben ist eine endliche abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} (G, \star) \end{eqnarray}$ , eine beliebige Menge $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ sowie eine periodische Funktion $\begin{eqnarray} f: G \rightarrow Y \end{eqnarray}$ . Bei der Menge $\begin{eqnarray} \{k \in G: f(g \star k) = f(g) \forall g \in G\} \end{eqnarray}$ handelt es sich ja um eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , die symmetrische Gruppe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Mein Professor hat nun gesagt, dass diese Menge genauer noch der Stabilisator von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Die Definition des Stabilisators war mir unbekannt, aber so, wie ich sie im Internet in diversen Beiträgen gefunden habe, verstehe ich nicht, warum die Menge der Stabilisator von G ist. Wäre euch sehr dankbar, wenn mir das jemand beantworten könnte. Viele Grüße
28.09.2016, 10:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stabilisator einer abelschen Gruppe, periodische Funktion Die Aussage ist so sicher nicht richtig. Die Symmetrische Gruppe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hängt offenbar extrem von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ab. Ich weiß nicht was periodisch in dem Kontext bedeutet, aber die konstante Funktion wird das sicher erfüllen. Dann ist die Symmetriegruppe offenbar komplett $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und das wird im Allgemeinen falsch sein. Je nach Defiintion von periodisch kann ich mir vorstellen der Stabilisator ist der Schnitt über alle symmetrischen Gruppen bezüglich perioidscher Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Edit: Oder operiert $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ und periodisch heisst $\begin{eqnarray} f(k g) = k. f(g) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} . \end{eqnarray*}$ die Gruppenoperation ist?
28.09.2016, 10:54	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, IfindU, danke für deinen Beitrag! Ich bin mir nicht so sicher, ob die konstante Funktion das erfüllt, wie periodisch in dem Zusammenhang gemeint war. Periodisch bedeutet hier sowas wie konkret z.B. die Sinusfunktion (sin(x)=sin(x+2pi)=sin(x+22pi)=sin(x+32pi)) usw. oder etwa $\begin{eqnarray} 10^x mod 21 = 10^{x+6} mod 21 = 10^{x+26} mod 21= \dotsc \end{eqnarray}$ . (Wie drückt man das gruppentheoretisch richtig aus? Ist die Funktion da korrekterweise dann $\begin{eqnarray} f: G\rightarrow Y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f: G\times Y\rightarrow Y \end{eqnarray}$ ) Weil für den Stabilisator brauch ich doch Letzteres oder?) Für den Stabilisator (eines Elementes $\begin{eqnarray} x \in Y \end{eqnarray}$ ) ist mir nur die Definition $\begin{eqnarray} G_x:=\{g \in G: gx=x\} \end{eqnarray}$ untergekommen, wobei $\begin{eqnarray} f: G \times Y \rightarrow Y, (g,x)\mapsto gx \end{eqnarray*}$ , G die Gruppe, Y die Menge ist. Das ist wahrscheinlich die gleiche, auf die auch du dich beziehst?
28.09.2016, 12:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede konstante Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ erfüllt auch $\begin{eqnarray} f(x) = f(x+2\pi) = f(x+4\pi)=.. \end{eqnarray}$ . Aber du musst doch eine Definition von periodisch haben. Ich würde da nachschauen, und am besten noch ob ihr eine Definition von Stabilisator habt, die damit zusammenhängt. Und wenn du dabei bist, ob Y eine typische Menge für eine Gruppenoperation einer Gruppe G notiert wird.

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